.
Используя соотношение 
, имеем:
, 
. (7.15)
Пусть проводник находится в однородном электрическом поле напряженностью 
. На электрон будет действовать сила 
со стороны поля кристаллической решетки и кулоновская сила 
со стороны внешнего поля (здесь 
- модуль заряда электрона). За промежуток времени 
кулоновская сила совершит работу 
. Сделаем в этом равенстве замену (7.15):
(7.16)
Эта работа приводит к увеличению кинетической энергии электрона: 
. Заменим в этом равенстве 
согласно (7.16), а величину 
умножим и разделим на 
:
. (7.17)
Продифференцировав (7.15) по времени, найдем ускорение электрона:
.
Заменив здесь производную 
согласно (7.17), получим:
. (7.18)
Следовательно, ускорение электрона в проводнике пропорционально кулоновской силе. Это вовсе не очевидный результат, поскольку по
второму закону Ньютона ускорение должно быть пропорционально суммарной силе 
.
Перепишем равенство (7.18) иначе:
.
Из сопоставления этого равенства со вторым законом Ньютона следует, что множитель в правой части, заключенный в скобки, можно рассматривать как массу электрона, которая называется эффективной массой:
. (7.19)
Эффективная масса электрона может значительно отличаться от массы фактической; позже будет показано, что в некоторых случаях она может принимать даже отрицательные значения. Пока лишь отметим, что это обусловлено действием на электрон в проводнике (кроме кулоновской силы) поля положительно заряженных ионов в узлах кристаллической решетки.
Введение эффективной массы позволяет абстрагироваться от поля решетки и описывать движение электрона как свободной частицы под действием только внешнего электрического поля. В рамках такого подхода все соотношения, полученные ранее для свободных электронов в кристалле, можно использовать и для электронов в поле кристаллической решетки, если вместо фактической массы использовать массу эффективную. Например, согласно (7.3) зависимость энергии свободного электрона в кристалле от волнового числа дебройлевской волны имеет вид:
.
Заменим в этом равенстве фактическую массу электрона на эффективную и дважды продифференцируем его по переменной 
:
, 
, 
.
Отсюда следует:
,
что соответствует определению эффективной массы (7.19).
7.4. Простейшая квантовая теория электропроводности металлов
В рамках квантовомеханической теории движение электронов в металле можно рассматривать как распространение их дебройлевских волн. При этом весьма полезно иметь в виду оптическую аналогию с распространением световых пучков. Если свет проходит через мутную среду (туман, взвеси и т. п.), то имеет место его рассеяние, приводящее к уменьшению интенсивности пучка. Как следует из теории рассеяния, для его возникновения необходимо, чтобы частицы среды, являющиеся центрами рассеяния, были расположены на расстояниях, сравнимых с длины волны (
). Если же 
, то рассеяния светового пучка не происходит.
Оценим длину дебройлевской волны электрона, участвующего в токе проводимости. Расчеты показывают, что скорость упорядоченного движения электронов в металлическом проводнике имеет величину порядка 0,1 мм/с. Подставив численные значения в формулу 
(
- масса электрона, 
- его скорость), получим, что длина волны равна примерно 7 м. Поскольку типичные межатомные расстояния в металлах составляют приблизительно 10-10 м, понятно, что дебройлевские волны, распространяющиеся в идеальном металлическом кристалле, не должны рассеиваться на атомах. Иначе говоря, металлический проводник с идеальной кристаллической решеткой не должен обладать электрическим сопротивлением. Наличие же такового обусловлено тем, что в природе не существует идеальных кристаллов.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
