Математика (стр. 3 )

Темы практических занятий по Разделу 1

1. Элементы исчисления высказываний. Логическое следование высказываний, методы доказательства. Метод математической индукции.

2. Множества. Операции над множествами и их алгебраические свойства. Отображения, эквивалентные множества.

3. Бесконечные множества. Отношения на множествах.

4. Числовые последовательности. Вычисление пределов с использованием определения. Свойства сходящихся последовательностей.

5. Вычисление пределов последовательностей с использованием их свойств. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, раскрытие неопределенностей.

6. Функции и их основные свойства. Элементарные функции и их графики.

7. Предел функции, вычисление по определению. Замечательные пределы. Арифметические свойства пределов, вычисление пределов, раскрытие неопределенностей.

8. Непрерывность функции в точке и анализ разрывов. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

9. Производная и ее вычисление по определению. Правила дифференцирования. Геометрическая интерпретация производной.

10. Дифференциал и приближенные вычисления. Эластичность функции. Производные высших порядков. Формулы Тейлора и Маклорена.

11. Использование производных для анализа монотонности, выпуклости функций, поиска экстремумов и точек перегиба.

12. Нахождение асимптот графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Использование производных в экономике.

13. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование методом замены переменной. Метод интегрирования по частям.

14. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей.

15. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку. Приложения определенного интеграла в экономике.

1. Функции нескольких переменных, их пределы, непрерывность. График функции двух переменных – поверхность; линии уровня.

2. Частные производные, их вычисление. Дифференциал, частные эластичности, приближенные вычисления.

3. Дифференцирование сложных и неявных функций. Поиск локальных экстремумов, условных экстремумов.

4. Поиск наибольшего (наименьшего) значения функции двух переменных на ограниченном замкнутом множестве. Двойной интеграл и его вычисление сведением к повторному интегрированию.

5. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Решение уравнений с разделяющимися переменными, неполных уравнений.

6. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

7. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Темы практических занятий по Разделу 2

1. Векторы и линейные пространства.

2. Уравнения прямых и плоскостей.

3. Матрицы и операции с ними.

4. Определители и их свойства. Вычисление определителей, применение определителей.

5. Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Решение произвольной системы методом Гаусса.

6. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. Нахождение фундаментальной системы решений. Построение общего решения неоднородной системы.

7. Нахождение псевдорешения несовместной системы линейных алгебраических уравнений.

8. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейных операторов.

9. Элементарные понятия теории вероятностей.

10. Элементы комбинаторики. Решение задач с использованием классического определения вероятности.

11. Условная вероятность. Независимые события и формула умножения вероятностей. Формула сложения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса.

12. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

Литература: [11], [12], [13], [15].

13. Локальная и интегральная формулы Лапласа.

14. Дискретные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.

15. Непрерывные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.

16. Центральная предельная теорема.

17. Двумерные случайные величины

6.  ФОРМЫ КОНТРОЛЯ И ОТЧЕТНОСТИ

  6.1. Формы контроля

  В качестве оценочных средств программой дисциплины предусматривается:

текущий контроль (аудиторные контрольные работы, домашние контрольные работы, домашние задания). промежуточный контроль.

Промежуточный контроль изучения дисциплины проводится в форме письменного экзамена в 1-ом и 2-ом семестре.

6.2. Домашние контрольные работы

6.2.1 Контрольная работа №1

Вариант№1

1.1. - множество целых чисел, кратных 2; - множество целых чисел, кратных 3; - множество целых чисел (универсальное множество). Описать множества: .

1.2. Из 100 студентов 28 человек изучают испанский язык, 30 – немецкий, 42 – французский; при этом испанский и немецкий языки изучают 8 студентов, испанский и французский – 10, немецкий и французский – 5; все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучают один только французский язык? Сколько студентов вообще ничего не изучают?

1.3. Найти естественную область определения функции

1.4. Существует ли обратная функция у функции

  ?  Если существует – найдите ее.

1.5. При каком значении параметра функция имеет четыре корня?

1.6. Найти предел последовательности

 

1.7. Исходя из определения предела, доказать, что последовательность является бесконечно малой. Начиная с какого номера члены этой последовательности будут по величине меньше ?

1.8. Найти предел функции

1.9. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке x=2.

1.10. Представить функцию в виде многочлена пятой степени относительно .

1.11. Пусть зависимости спроса и предложения на некоторый товар от цены имеют вид: . На сколько процентов изменятся спрос и предложение, если цена увеличится на 5% относительно равновесной?

1.12. Используя производные, исследовать функцию и построить ее график:

1.13. Найти отношение диаметра к высоте у цилиндра, который имеет наибольший возможный объем при фиксированной площади поверхности.

1.14. Найти интеграл методом замены переменной

1.15. Найти интеграл 

1.16. Найти несобственный интеграл

1.17. Найти частные производные первого и второго порядка для функции

1.18. Найти экстремумы функции

1.19. Найти условные экстремумы функции

при 

1.20. Найти решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием

  при y(1)=1

Вариант№2

2.1. Доказать следующее соотношение, справедливое для любых множеств (закон де Моргана):

,

Обобщить на случай трех, четырех множеств.

2.2.  20 студентов отправились в кафе. Из них 15 пили кофе, 10 ели мороженое, 7 испробовали и то и другое. Сколько человек отказались от мороженого и от кофе?

2.3. Найти естественную область определения функции

 

2.4. Вам известен график функции f(x)=ex. Построить график функции:

2.5. При каком значении параметра функция имеет четыре корня?

2.6. Найти предел последовательности

 

2.7. , доказать, что число 0 не является пределом, что последовательность не является бесконечно большой.