Математика (стр. 7 )

8. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность сходятся к числу 0.

9. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность сходится к 1.

10. Найти предел последовательности .

11. Найти предел последовательности .

12. Найти предел .

13. Пусть последовательность - ограничена, - бесконечно большая. Доказать, что последовательность бесконечно малая.

14. Дана f(x) = 2x2 + x - 3. Построить графики y = f(x) , y = |f(x)|. При каких значениях параметра а уравнение |f(x)| = a  имеет четыре корня?

15. Дана функция Построить ее график; решить неравенство y<0; решить уравнение |y-1| = 1.

16. Построить график функции .

17. Используя определение предела функции (на языке последовательностей) найти .

18. Найти предел .

19. Найти предел .

20. Пусть

 

При каком выборе числа функция будет непрерывной в точке ?

21. Доказать, что уравнение имеет точно один корень на отрезке [1, 2].

22. Доказать, что уравнение имеет один положительный корень, меньший 1.

23. Пусть . Найти приращение функции и отношение в точке если а) , б) , в) , г) , д) , е) . Объяснить результаты.

24. Используя определение производной найти производную функции .

25. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 12 ?

26. На параболе взяты две точке с абсциссами и . Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?

27. Найти производную для функции . Найти третью производную для функции .

28. Функции спроса q и предложения s от цены p имеют вид q=7-p, s=p+1. Найти равновесную цену, эластичности спроса и предложения для этой цены, изменение спроса, предложения и дохода (в %) при увеличении цены на 5% от равновесной.

29. На сколько процентов изменится (приближенно) площадь круга, если его радиус изменится на 1% ?

30. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

31. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.

32. Исследовать функцию и построить ее график: .

33. Исследовать функцию и построить ее график: .

34. Исследовать функцию и построить ее график: .

35. Исследовать функцию и построить ее график: .

36. Исследовать функцию и построить ее график: .

37. Вычислить неопределенный интеграл .

38. Используя метод замены переменной, вычислить неопределенные интегралы: а) ; б) .

39. Используя метод интегрирования по частям, вычислить неопределенные интегралы: а) ; б) .

40. Вычислить определенные интегралы: а) ; б) ; в) .

41. Найти область определения функции двух переменных .

42. Построить линии уровня для функции .

43. Построить линии уровня для функции .

44. Найти предел функции в точке М(0,0).

45. Доказать, что функция не имеет предела в точке М(0,0).

46. Найти частные производные функций: а) ; б) .

47. Для функции найти частные производные второго порядка.

48. Зависимость объема производства от капитальных затрат и затрат труда описывается функцией Кобба-Дугласа . Найти дифференциал и частные эластичности этой функции. Пусть ; на сколько процентов изменится объем производства, если капитальные затраты увеличить на 4%, а затраты труда снизить на 2%?.

49. Пусть . Найти .

50. При условии постоянства объема производства неявная зависимость затрат труда от капитальных затрат описывается соотношением . Рассчитать производную . Какой она имеет смысл?

51. Найти экстремумы функции .

52. Найти экстремумы функции .

53. Найти экстремумы функции .