Математика (стр. 6 )

3.9. Для матрицы А вычислить обратную

3.10. Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.

	1	9	6		3
A=	1	3	4	b=	1
	1	-3	2		-1

3.11.  Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.

3.12. Найти СЗ и СВ матриц:

3.13. Из 30 человек необходимо выбрать одного президента, одного председателя правительства, одного председателя верховного суда и еще трех советников президента. Сколько существует вариантов сделать выбор?

3.14.  В автобусе 40 человек, из них пятеро – преступники. Если вызвать на допрос шестерых, выбранных наугад пассажиров, то какова вероятность, что среди них окажется хотя бы один преступник?

3.15. Какова вероятность того, что при подбрасывании монеты

а) орел впервые выпадет на пятом броске;

б) за пять бросков орел выпадет один раз?

3.16. Вероятность выигрыша в первой лотерее равна 0,01, во второй – 0,02. Куплено по 100 билетов той и другой лотереи. Какова вероятность получить хоть какой-нибудь выигрыш?

3.17. Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы цифра 1 появилась хотя бы один раз с вероятность не меньшей 0,9?

3.18. Вероятность появления успеха в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8.  Найти вероятность того, что относительная частота появления успеха  отклонится по абсолютной величине  от его вероятности не более чем на 0,04.

3.19. Независимые случайные величины X и Y имеют распределения:

x=	-2	-1	0	1	2
p=	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1
y=	3	2
p=	0,7	0,3

Вычислить для них математическое ожидание и дисперсию.

Построить распределения случайной величины X-Y,

вычислить для нее математическое ожидание и дисперсию.

3.20. Задана плотность распределения случайной величины Х:

Найти функцию распределения (график!) и математическое ожидание случайной величины Х. Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (0, 3/2).

Вариант№4

4.1. Вычислить скалярное произведение ((5a+3b)(2a-b)), если модули a=2, b=3 и a ортогонален b.

4.2. Являются ли следующие три вектора компланарными?

(7, -3, 2), (3, -7, 8), (1, -1, 1).

4.3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(2, 0, -1) и

Q((1, -1, 3) и перпендикулярной плоскости 3x+2y-z+5=0.

4.4. Даны векторы a(m, 3, 4) и b(4, m, -7). При каком значении m эти векторы ортогональны? 

4.5.. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(2, 0, -1) и

Q((1, -1, 3) и перпендикулярной плоскости 3x+2y-z+5=0. 

4.6. Дана плоскость x+y-2z-6=0 и вне ее точка М(1, 1, 1). Найти точку N, симметричную точке М относительно данной плоскости.

4.7. С помощью элементарных преобразований преобразовать матрицу А в единичную матрицу

4.8. Вычислить определитель

4.9. Вычислить ранг матрицы

  4.10.  Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.

	2	12	10	4
A=	2	0	6	b=	0
	2	6	8	2

  4.11.  Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.

4.12. Найти СЗ и СВ матриц:

. 4.13. При формировании экипажа самолета нужно отобрать четырех специалистов (командир, второй пилот, бортинженер и штурман) из 10 человек, окончивших школу летного состава и двух стюардесс из десяти претенденток. Сколько имеется вариантов выбора?

4.14. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны идут пять дорог. Вероятность выхода из леса в течение часа равна: по первой дороге – 0,6, по второй – 0,3, по третьей – 0,2, по четвертой – 0,1, по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

4.15. При выстреле цель поражается с вероятностью 1/3. Какова вероятность того, что в цель попали хотя бы два снаряда, если сделано пять выстрелов?

4.16. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных человек двое родились 1 мая?

4.17. Вратарь парирует в среднем 3 из 10 ударов. Какова вероятность, что он пропустит не более двух мячей из пяти?

4.18. Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонение относительной частоты «герба»  от 0,5 на величину, меньшую (по абсолютной величине) чем 0,01.

4.19. Независимые случайные величины X и Y имеют распределения:

x=	-2	-1	0	1	2
p=	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1
y=	3	2
p=	0,7	0,3

Построить распределения случайной величиныX*Y и

вычислить для нее математическое ожидание и дисперсию.

4.20. Задана функция распределения случайной величины Х:

Найти плотность распределения и математическое ожидание случайной величины Х.  Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (-3, 1).

6.3. Вопросы для подготовки к экзамену

Формулировки теоретических вопросов, предлагаемых на экзамене, повторяют формулировки тем, перечисленных в содержании программы. Например:

Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Проверка статистических гипотез. и т. д.

6.4. Примеры задач, предлагаемых  на экзамене.

Раздел 1

1. Дать формальное (с использованием таблицы истинности посылок и заключения) доказательство теоремы:

Дано: Если не готовиться к экзамену – получишь двойку.

  Если получишь двойку – не будет стипендии.

Доказать: Если не готовиться к экзамену – не будет стипендии.

2. Используя метод математической индукции, доказать, что для геометрической прогрессии (т. е. последовательности ) сумма первых n членов равна .

3. 60% студентов читают журнал «Огонек», 50% ‑ «Урал», 50% ‑ «Юность», 30% ‑ журналы «Огонек» и «Урал», 20% ‑ «Урал» и «Юность», 30% ‑ «Огонек» и «Юность», 10% ‑ все три журнала. Сколько студентов читают какие-нибудь два журнала? Сколько не читают ни одного?

4. Построить отображение отрезка [-1, 1] в отрезок [0, 1], так, чтобы это отображение: а) было взаимно однозначным соответствием; б) не было взаимно однозначным соответствием.

5. Доказать, что множество всех правильных многоугольников является бесконечным.

6. Исследуйте бинарное отношение (x, y) , x+y=8 , на множестве X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Является ли данное отношение рефлексивным, симметричным, транзитивным, антисимметричным?

7. Дано множество X={-4,-3,-2,1,2,3}. Доказать, что следующее отношение (x, y), ‑ есть отношение эквивалентности, и построить соответствующее разбиение множества X на классы эквивалентности.