Материалы студенческой научно-исследовательской конференции «Актуальные проблемы развития И истории технических, естественных и гуманитарных наук в системе высшего образования» (стр. 14 )

Пусть имеется два игрока, один из которых может выбрать i-ю стратегию из m своих возможных стратегий (), а вто­рой, не зная выбора первого, выбирает j-ю стратегию из п своих возможных стратегий (). В результате первый игрок вы­игрывает величину aij, а второй проигрывает эту величину. Из чисел аij составим матрицу, называемую платёжной:  A = (аij) = .  Число называется нижней ценой игры или максимином. Число называется верхней ценой игры или минимаксом. Если б = в = х, то число х назы­вается ценой игры, а сама игра – игрой с седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегий, которые явля­ются оптимальными. Если матрица не имеет седловую точку, то для нахождения ее решения используются смешанные стратегии.

Задачу (игру), определяемую платежной матрицей размеров mЧn, можно свести к задаче линейного программирования. Чтобы найти решение данной игры, нужно составить пару двой­ственных задач и найти их решение.

Прямая задача: найти максимальное значение F = при условиях  (i =); xi ≥ 0 (j =). Двойственная задача: найти минимальное значение функции F* = при условиях (j = ); yi ≥ 0 (i = ).

Используя решения пары двойственных задач, получаем фор­мулы для определения стратегий и цены игры:

   

Итак, процесс нахождения решения игры с использованием методов линейного программирования включает следующие этапы:

1.  Составляют пару двойственных задач линейного програм­мирования, эквивалентных данной матричной игре.

2.  Определяют оптимальные планы пары двойственных за­дач.

3.  Используя соотношение между планами пары двойствен­ных задач и оптимальными стратегиями и ценой игры, находят решение игры.  Например:  Найти решение игры, определяемой матрицей  A=

Решение. Составим пару двойственных задач линейного программирования:

  F  = x1 + x2+ x3 → max  F*  = у1 + у2+ у3 → min 

  ,   ,

       Решив задачу симплексным методом, получим оптимальные планы:  Х*=(0; 0,5; 1), У*=(0,5; 1; 0). Тогда цена игры , а оптимальные стратегии игроков .

  Теория матричных игр позволяет находить оптимальные стратегии при разработке оптимальных решений в самых различных ситуациях. Так, в частности, на промышленных предприятиях теория игр может применяться, при создании рациональ­ных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях. 

В машиностроении противоборствуют экономия металла в конст­рукциях, с одной стороны, и обеспечение необходимой прочности - с другой. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при реше­нии экономических задач, в которых оппозиционной силой выступает природа, а также когда вероятность наступления событий многовариантна или неизвестна.

Используемая литература:

1) Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1986. – 319с., ил.

2) , , Математическое программирование: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп.. -  М.: Высш. Школа, 1980. – 300 с., ил.

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

,

Производственной функцией (ПФ) называется функция, выражающая зависимость результата производственной деятельности от обуславливающих его факторов. Производственные функции с реализацией принципа «затраты – выпуск» имеют различные области использования как на микро - , так и на макроуровне. Микроэкономические ПФ используются для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса в течение определённого времени и выпуском продукции, осуществляемым конкретным субъектом хозяйствования. Макроэкономические ПФ можно использовать для описания взаимосвязей между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны и годовым конечным выпуском продукции (или дохода) этого региона или страны в целом, а также для решения задач анализа, планирования и прогнозирования.

Производственная функция нескольких переменных – это функция вида , независимые переменные которой принимают значения объёмов используемых ресурсов, значение функции имеет величину объёмов выпуска; a – вектор параметров. Такие производственные функции называются многоресурсными, или многофакторными.

       Для построения ПФ для отдельного региона или страны в качестве величины годового выпуска У берут совокупный продукт (доход), исчисляемый в неизменных, а не в текущих ценах. В качестве ресурсов рассматривают: основной капитал - объём используемого в течении года основного капитала; живой труд , затрачиваемый в течении года. В результате строят двухфакторную ПФ , или .

       Для моделирования проблем отдельного региона или страны в целом и решения задач как на макро-, так и на микроэкономическом уровне часто используется производственная функция Кобба –Дугласа (ПФКД): ,

где - параметры ПФ, являющиеся положительными постоянными числами, причём часто и , таковы, что .

       Если - объём используемого основного капитала , а - затраты живого труда, то ПФКД приобретает вид:  .

       Дробь называется средней производительностью i-го ресурса. Первая частная производная от ПФ - предельная (маржинальная) производительность i-го  ресурса  или  предельный выпуск. Предельная производительность ресурса приближённо показывает, на сколько единиц увеличивается объем выпуска У, если  объем затрат i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объёмах другого затрачиваемого ресурса. Для ПФКД    имеем:

               ;                 ;