Материалы студенческой научно-исследовательской конференции «Актуальные проблемы развития И истории технических, естественных и гуманитарных наук в системе высшего образования» (стр. 15 )

               ;  .

Если , то (так как ), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности i-го ресурса к его средней производительности называется частной эластичностью выпуска по i-му ресурсу, т. е.  . Сумма называется эластичностью производства. Эластичность выпуска  по i-му фактору производства приближённо показывает, на сколько процентов увеличится выпуск, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при переменных объёмах другого ресурса. Можно показать, что:

  ;  ; 

       Предельной технологической нормой замены (замещения) i-го ресурса j-м ресурсом называется выражение при постоянной У. Для двухфакторной ПФ:  , т. е. предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объёма второго ресурса к объёму первого.        Если то отношение называется капиталовооружённостью труда. В этом случае предельная норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооружённость труда.

       Наиболее известным обобщением ПФКД является функция с постоянной эластичностью замещения (Constant Elasticity Substitution –CES). Эластичность замещения труда капиталом  здесь показывает, на сколько процентов изменится капиталовооружённость (K/L) при изменении предельной нормы замены труда капиталом на 1%: . ПФКД имеет эластичность замещения, равную единице.        В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, соответственно различной может быть и эластичность замещения.

  Например, развитие экономики СССР описывается следующими оценками  линейно-однородной функции CES, полученным под руководством А. Г.  Гранберга за 1960-1985 гг.: 1) Без учёта технического прогресса:   ; ;  2) С учётом технического прогресса:   ; .        С точки зрения статистик и обе зависимости получились при разных оценках показателя эластичности замещения. В целом оценка эластичности замещения зависела от конкретной специфики и составляла около 0,4, что говорит о невысокой степени взаимозаменяемости труда и капитала. Ошибочность исходной гипотезы о степени взаимозаменяемости факторов может служить причиной недостаточной статистической значимости оценок производственной функции Кобба-Дугласа.

Используемая литература:

Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2000. – 367 с. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 352 с. – (Серия «Высшее образование»).

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА

,

Метод множителей Лагранжа используется для отыскания экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию. Суть этого метода состоит в построении функции вида  L(x1, x2, л)  =f(x1, x2) + лg(x1, x2) от трех переменных x1, х2, л, называемой функцией Лагранжа, и в сведении задачи на условный экстремум в случае двух независимых переменных (x1,x2) к задаче на абсолютный экстремум функции L(x1, x2, л)  трех независи­мых переменных x1, х2, л.

Функция Лагранжа L(x1, x2, л) представляет собой сумму целевой функции (1) и функции ограничения (2), умноженн­ой на новую независимую переменную л, называемую множителем Лагранжа, входящую обязательно в первой степени.  Требуется:  f(x1,x2)→max  (f(x1,x2)→min)  (1) при условииg(x1,x2)=0  (2)        

Пусть функции f(x1, x2), g(x1, x2)  непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого по­рядка по переменным x1 и х2; пусть (x1, x2) - точка условного локального экстремума функции (1) при наличии ограниче­ния (2) и пусть grad g = 0. Тогда существует единст­венное число л°, такое, что (трехмерная) точка удов­летворяет следующей системе трех уравнений с тремя неизвест­ными  x1, x2, л:    (3) Если двумерная точка есть точка ло­кального экстремума функции (1), то трехмерная точка - критическая точка функции Лагранжа.

Если в задаче (1), (2) на условный экстремум ограниче­ние (2) в виде равенства заменить на ограничение  g(x1, x2) ≤ 0  в виде неравенства, то мы

получаем частный случай задачи мате­матического программирования:

  f(x1,x2)→max  (f(x1,x2)→min)  при условии  g(x1,x2)≤0 .         

В экономической теории часто задача математического программирования сводится к задаче на условный экстремум. Таковой является, к примеру, задача потребительского выбора.

Пусть потребитель располагает доходом I, который полностью расходу­ется им на приобретение благ, причем цены благ считаются заданными. Учитывая текущие структуру цен, объем дохода I и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенное количество благ. Математическая модель его по­ведения в этой ситуации называется моделью потребительского выбора (ПВ).

Потребительский набор как вектор (x1, х2) состоит из двух благ (x1 — количество еди­ниц первого блага, х2 — количество единиц второго блага). На множестве потребительских наборов (x1, x2) можно опреде­лить индивидуальную функцию полезности потребителя u(x1, х2), значение которой на потребительском наборе (x1, х2) соответст­вует уровню (или степени) удовлетворения потребностей индивида, если он приобретает или потребляет данный набор (x1, х2)).

Задача потребительского выбора (задача рационального пове­дения потребителя на рынке) заключается в выборе такого по­требительского набора А, который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукт не могут превышать денежного дохода:

p1x1 + p2x2 ≤ I,  где p1 и р2 — рыночные цены одной единицы первого и второго блага соответственно, I —доход индивида, предназначенный для приобрете­ния первого и второго блага (величины p1, p2 и I заданы).

Формально данная задача имеет вид:    и может быть решена как задача на условный экстремум методом Лагранжа. 

Функция Лагранжа имеет вид: L(x1, x2, л) = u(x1, x2) + л(p1x1 + p2 x2  – I).

Найдем ее первые частные производные по перемен­ным x1, x2 и л и приравняем их к нулю:  ∂L / ∂x1 = u1Ч – лp1 = 0;

  ∂L / ∂x2 = u2Ч – лp2 = 0;

  ∂L / ∂л  = p1x1 + p2 x2  – I  = 0.

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную л, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными х1 и х2:  u1Ч / u2Ч = p1 /p2;  p1x1 + p2x2 = I.