Материалы студенческой научно-исследовательской конференции «Актуальные проблемы развития И истории технических, естественных и гуманитарных наук в системе высшего образования» (стр. 16 )

Решение   этой системы есть «укороченная» критиче­ская точка функции Лагранжа. Можно доказать, что эта точка является решением задачи потребительского выбора (за исключением уг­ловых решений).

Например. При ценах p и доходе Q найти точку спроса для функции полезности  .

Решение. Функция означает, что излишки первого или второго товаров сверх отношения 2:1 не приносят пользы потребителю. Он получает большую пользу только при увеличении обоих товаров в пределах сохранения пропорции 2:1. Товары с такой функцией полезности называются взаимодополняемыми (например, чай и сахар). Решение задачи сводится к решению системы:        

Ее решение есть

Используемая литература:

Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 352 с. – (Серия «Высшее образование»). Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с. – (Серия «Высшее образование»). Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 367 с.

ИЗ  ИСТОРИИ  НЕЕВКЛИДОВОЙ  ГЕОМЕТРИИ

Часть IV

, ,

Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Евклида…

В. Клиффорд

Два тысячелетия бесплодных усилий и крушения всех попыток (в том числе и своей собственной, основанной на методе приведения  к абсурду) доказать V постулат  привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, т. е. из них не вытекает, и поэтому его доказать нельзя. Но если V постулат не зависит от других аксиом, то, допуская другие аксиомы (абсолютной геометрии), мы можем принять или не принять евклидов постулат. В первом случае мы получаем известную классическую евклидову  геометрию, названную Лоба­чевским «употребительной».  Если же вместо  евклидовой  аксиомы параллельности принять другую, ей не эквивалентную, получим новую, неевклидову  геометрию.  Лобачевский  и сформулировал новую аксиому параллельных, прямо  противоположную аксиоме Евклида: «Через точку вне прямой можно провести не толь­ко одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней ме­ре две». Заменив этой аксиомой V постулат Евклида, Лобачевский разработал  свою неевклидову геометрию,  которая  оказалась  так же логически безупречной, правильной, как и геометрия  Евклида. Если из точки С вне прямой АВ(рис.1) опустить на нее перпендикуляр CD и построить перпендикуляр CN к CD, то без помощи аксиомы параллельных доказывается,  что NN' ║AВ. Постулат Евклида утверждает, что из всех прямых плоскости ABC, проходящих через точку С, только одна прямая N'N не встречает прямой АВ. Отказываясь от этой аксиомы, Лобачевский допускает, что через точку С проходит по крайней мере еще одна прямая  CL,  не  пересекающая  АВ.        

  N'  C 

  A  D 

  Рис.1

Таким образом, если отречься от всяких предубеждений, нет никакого основания считать аксиому Лобачевского «хуже» аксио­мы Евклида в смысле ее соответствия физической реальности. Ка­жущееся преимущество евклидовой аксиомы состоит в том, что ее содержание соответствует нашим привычным представлениям.

Следствия, которые вытекают из аксиомы Лобачевского:

Через точку С  вне прямой АВ  плоскости ABC проходит бесчисленное множество прямых,  не пересекающихся с  прямой С. Все прямые, проходящие через точку С внутри прямого угла NCD, разбиваются на две категории, на два класса; встречающие  прямую А В (их Лобачевский называет «сходящимися» с АВ) и не встречающие прямую АВ (на­ званные  Лобачевским  «расходящимися»  с АВ).  Угол DCL, образованный параллельной CL с пер­пендикуляром CD,  называют углом  параллельности. Из предыдущего изложения вытекает, что на параллели Ло­бачевского различается направление параллельности. Прямая СЕ параллельна прямой АВ в направлении или в сторону от А к В; прямая CF параллельна той же прямой АВ в направлении или в сторону В А  (от В к А.  Рис 2.)

  E

  B

  F 

  A  D 

  Рис.2

  После работы «О началах геометрии» появились в свет и другие произведения  Лобачевского  по  неевклидовой  геометрии; «Воображаемая геометрия», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», «Геометрические исследования по теории параллельных».Однако идеи Лобачевского были настолько революционными и до того опередили свой век, что не могли быть понятыми даже крупными матема­тиками того времени.

Геометрия  Лобачевского не противоречит, не исключает геометрии Евклида; последнюю можно  рассматривать как част­ный,  предельный  случай более общей  геометрии — геометрия  Лобачевского. Возникшие из попыток доказательства V постулата неевклидовой геометрии, открытие Лобачевским, Бойя, Гауссом и других, стали в наши дни необходимым аппаратом для изучения механики и астрономии. Особенно важна геометрия Лобачевского для теории относительности. Открытие неевклидовой геометрии имеет большое и философское значение. Кант считал, что евклидова геометрия непоколебима и является вечной истиной. Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсо­лютизировать представления о пространстве, что «употребитель­ная» (как называл Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыб­лемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии лежат такие понятия, которые связаны с деятельностью человека. От­крытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию  окружающего нас материального мира.

Используемая литература:

1) Творцы математики. Предшественники современной

математики. М.,1979

2) Математика в современном мире. М.,1980

3)   . М.,1976

4) Прелюдия в математике. М.,1972

РАЗВИТИЕ ФИЗИКИ В ЭПОХУ ПРОМЫШЛЕННОГО ПЕРЕВОРОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. ЧАСТЬ II.

,

Ампер вводит силу тока и ее единицу аналогично тому, как вводится понятия электрического заряда и его единицы на основании кулоновского закона электрических взаимодействий. Закон взаимодействия двух элементов тока, найденный Ампером 4 декабря 1820 г., выражается формулой:

где i и i’ – силы двух взаимодействующих токов, ds и ds’- соответствующие длины рассматриваемых элементов тока, r – расстояние между этими элементами, е – угол между элементами токов, и и и’ – углы, образованные линией r с направлениями обоих элементов. Положив е = 0, ds = ds', и = и'=р/2, величину силы тока.

       Очевидно, что сила тока будет равна единице при ds = 1, r = 1, сила f = 1. Эта единица называется электродинамической единицей тока.

       В определении Ампера и в его законе фигурируют элементы токов. Но на опыте экспериментируют с замкнутыми токами, а не их элементами. Закон ампера представляет собой математическую экстраполяцию действительных и воображаемых экспериментов.

       Опыт Био и Савара заключался в следующем. Магнитная стрелка весьма малой длины подвешивалась горизонтально вблизи длинного провода. С помощью астазирующего магнита уничтожалось действие земного магнитного поля на эту стрелку. При пропускании тока по проводнику стрелка устанавливалась так, что ее длина была перпендикулярна к перпендикуляру, опущенному из центра стрелки на провод. Если выводить стрелку из положения равновесия, то она начнет колебаться вокруг этого положения. Ввиду незначительной длины стрелки l силы F и F’, действующие на ее северный и южный полюсы, можно считать равными по величине и противоположными по направлению, так что при отклонении стрелки из положения равновесия на нее действует пара сил, возвращающая ее в исходное положение, момент которой

Под действием этой пары стрелка и совершает колебания, период которых при малых размахах определяется формулой

,

где K – момент инерции стрелки.

Помещая стрелку на разных расстояниях от провода, Био и Савар нашли, что периоды колебаний возрастают пропорционально корням квадратным из расстояний, так что

.

Из этого следует, что сила, действующая на полюс стрелки со стороны тока, убывает обратно пропорционально расстоянию от провода.

;        .

       В дальнейшем Био и Савар попытались разложить это действие на сумму действий, исходящих из отдельных элементов проводника. Так как все действие перпендикулярно плоскости, проходящей через полюс стрелки и провод, то делается вероятное предположение, что и элементарное действие, перпендикулярное плоскости, проходящий через элемент тока и полюс, и определяется по направлению правилом, установленным Ампером (правило пловца). Био и Савар предположили далее, что величина этой элементарной силы зависит от расстояния и от угла, образованного этим расстоянием с элементом тока, так что