Задачи по геометрии для подготовки к экзамену (стр. 2 )

Ответ. .

26. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL=a и медиана CM=b. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение. .

Ответ. .

27. В равностороннем треугольнике ABC сторона равна a. На стороне BC лежит точка D, а на AB - точка E так, что BD=a/3, AE=DE. Найдите длину CE.

Решение. AE = x и дважды - теорема косинусов для треугольников EBD и AEC.

Ответ. .

28. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают.

Решение. Пусть E - вершина квадрата, лежащая на боковой стороне AB треугольника ABC. Сторона квадрата равна 1. Если BD - высота треугольника, AE = x, то, по теореме синусов, . Общий центр тяжести - точка пересечения медиан треугольника ABC. BD = 3/2. Треугольник ABC - прямоугольный.

Ответ. 9/4.

29. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.

Решение. Треугольник O1O2O3, где Oi - центры соответствующих окружностей (i = 1, 2, 3), - прямоугольный с катетами 3 и 4. Искомая окружность вписана в треугольник O1O2O3.

Ответ. 1.

30. Окружность радиуса R проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите площадь треугольника ABC, если .

Решение. O - центр окружности, . По теореме синусов для треугольника ABC находим BC, затем площадь.

Ответ. .

31. Дан треугольник ABC. Известно, что AB=4, AC=2, BC=3. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке K. Прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекает продолжение биссектрисы AK в точке M. Найдите длину отрезка KM.

Решение. Треугольники AKC и BKM подобны. BK, KC и AK отыскиваются по теоремам о биссектрисе и косинусов.

Ответ. .

32. В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны a и b и пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали четырехугольника.

Решение. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, - диагонали параллелограмма, поэтому делятся пополам точкой пересечения; стороны параллелограмма, равные половинам диагоналей четырехугольника, находятся по теореме косинусов.

Ответ. .

33. В треугольнике ABC известны BC=a, углы A и B. Найдите радиус окружности, пересекающей все его стороны и высекающей на каждой из них хорды длины d.

Решение. Центры данной окружности и вписанной в треугольник ABC совпадают (равные хорды равноудалены от центра окружности). Отыскав радиус вписанной окружности, ответим на поставленный вопрос.

Ответ. .

34. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3 см.

Указание. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Ответ. см.

35. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона равна 10 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Решение. S = abc/4R = pr.

Ответ. 8/3, 25/3, 5 см.

36. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а катет равен 10 см.

Решение. Катет = 10 = 3 + 7, tg(A/2)=3/7, где A - острый угол, прилежащий к данному катету.

Ответ. 29/4 см.

37. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см. Точка касания этой окружности делит одну из сторон на отрезки длиной 4 и 6 см. Определите вид треугольника и вычислите его площадь.

Решение. tg(A/2)=2/4=1/2, tg(B/2)=2/6=1/3, значит cosA=3/5, cosB=4/5=sinA.

Ответ. Прямоугольный; 24 см2.

38. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом 2. Найдите сторону ромба.

Решение. Острый угол ромба - .

Ответ. .

39. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника соответственно равны 2 и 5 см. Найдите катеты треугольника.

Решение. Катеты - параметры задачи.

Ответ. 6 и 8 см.

40. Расстояние центра круга до хорды длиной в 16 см равно 15 см. Найдите площадь треугольника, описанного около круга, если периметр треугольника равен 200 см.

Решение. r2 = 152 + 82 = 289, r=17, S=200*17/2 = 1700.

Ответ. 1700 см2.

41. Периметр ромба равен 2p; длины диагоналей относятся, как m:n. Вычислите площадь ромба.

Решение. Площадь равна половине произведения диагоналей, которые находятся по теореме Пифагора.

Ответ. mnp2 / 2(m2 + n2).

42. В треугольник вписан ромб со стороной m, так что один угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки длиной p и q. Найдите стороны треугольника.

Решение. m/a = p/(p+q) - из подобия треугольников.

Ответ. m(p+q)/p, m(p+q)/q, p+q.

43. Прямые, содержащие боковые стороны равнобочной трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите длины сторон трапеции, если ее площадь равна 12 см2, а высота равна 2 см.

Решение. Если x - меньшее основание трапеции, то S = h(2+2+x+x)/2.

Ответ. 4; 8; ; .

44. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности.

Решение. Подобие треугольников (l - длина касательной, R - радиус окружности, 2h - расстояние между точками касания): .

Ответ. 9 см.

45. Из точки A проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках B и C так, что треугольник ABC - равносторонний. Найдите его площадь.

Решение.  AB2 + R2 = AO2 (O - центр окружности), AO=R/sin30°.

Ответ. .

46. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма.

Решение. Диагональ делит параллелограмм на прямоугольные треугольники с острыми углами 60° и 30°.

Ответ. 15 и 30 см.

47. Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.

Решение. Большее основание равно 12 см. Далее - подобие.

Ответ. 2 см.

48. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90° и 60°.  Найдите радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно .

Решение. 2 случая, в зависимости от того, лежат центры окружностей по одну или по разные стороны от общей хорды. Вычисляются все углы, далее - теорема синусов.

Ответ. или .

49. Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 см.

Решение. Высота на гипотенузу равна 12 см. Метод площадей + теорема Пифагора позволяют найти катеты. Опять метод площадей: S = pr.

Ответ. 5 см.

50. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее боковой стороны на расстояния 3 и 9 см. Найдите стороны трапеции.

Решение. 3 и 9 см - катеты прямоугольного треугольника. Радиус вписанной окружности - высота этого треугольника, проведенная из вершины прямого угла. Не забудьте условие вписания окружности в четырехугольник.

Ответ. см.

51. Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют.

Решение. Трапеция равнобочная, боковая сторона равна 10 см, высота - 8 см. Теорема синусов.

Ответ. 4 см, см.

52. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольников.

Решение. , где x - расстояние от заданной точки гипотенузы до катетов.

Ответ. 42, 56 см.

53. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение. , S = 24, катеты равны 6 и 8 см (они вычисляются из теоремы Пифагора и формулы для площади).