Задачи по геометрии для подготовки к экзамену (стр. 3 )

Ответ. 2 см.

54. Площадь треугольника равна S. Каждая сторона треугольника разделена на три части в отношении m : n : m. Определите площадь шестиугольника, вершинами которого являются точки деления.

Решение. Если C1, C2, A1, A2, B1, B2 - точки деления на сторонах AB, BC, CA соответственно, то площадь маленького треугольника, прилегающего к вершине, равна .

Ответ. .

55.  Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 4 и 12 см.

Решение. Подобие треугольников. Заметим попутно, что отрезки MO и ON равны (O - точка пересечения диагоналей, M и N - лежащие на боковых сторонах трапеции концы отрезка).

Ответ. 6 см.

56. Периметр кругового сектора равен 28 см, а его площадь равна 49 см2. Определите длину дуги сектора.

Решение. Для определения радиуса окружности и центрального угла имеем два уравнения: .

Ответ. 14 см.

57. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 1:3, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих точках меньше площади исходного треугольника?

Решение. Пусть AA1 и CC1 - две медианы треугольника ABC, O - точка пересечения медиан, M и P - отмеченные точки на медианах AA1 и CC1 соответственно, тогда , MP и AC параллельны (теорема Фалеса); аналогично, все стороны треугольника с вершинами в отмеченных точках параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC, значит треугольники подобны с коэффициентом подобия 5/8.

Ответ. В 64/25.

58. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5 м. Найдите площадь треугольника.

Решение. Треугольник равнобедренный. Площадь в 3 раза больше площади равнобедренного треугольника с боковой стороной 10/3 и высотой 2.

Ответ. 16 м2.

59. Найдите координаты середин сторон квадрата, приняв за оси координат его диагонали.

Решение. (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1) - координаты вершин квадрата.

Ответ. (1/2;1/2), (-1/2;1/2), (-1/2;-1/2), (1/2;-1/2).

60. Большее основание трапеции в два раза больше ее меньшего основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отношение высоты каждой из двух полученных трапеций к высоте данной трапеции.

Решение. Половина отрезка, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, заключенного между боковыми сторонами, равна , где a - меньшее основание трапеции (задача 55). Теперь - подобие треугольников.

Ответ. 1 : 3, 2 : 3.

61. Площадь прямоугольника равна 9 см2, а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна 120°. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. a и b - стороны прямоугольника. .

Ответ. см.

62. Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длина боковой стороны треугольника короче длины его основания на 1 см. Найдите длины сторон и высоту треугольника, проведенной к основанию.

Решение. Пусть a и b - основание и боковая сторона треугольника. .

Ответ. 6 см, 5 см, 5 см, 4 см.

63. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найдите площадь трапеции.

Решение. Все остальные стороны одинаковы и равны  13 см. Проведем через вершину прямую, параллельную боковой стороне и найдем высоту трапеции, используя формулу Герона для вычисления площади получившегося равнобедренного треугольника..

Ответ. 96 см2.

64. Высота равнобочной трапеции равна 14 см, а основания равны 16 и 12 см. Найдите площадь описанного круга.

Решение. Найдем боковую сторону, диагональ трапеции, синус острого угла и по теореме синусов - радиус описанного около трапеции круга (10 см).

Ответ. см2.

65. Вычислите площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно a и большая боковая сторона равна b.

Решение. Все вычисляется напрямую.

Ответ. .

66. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна a. Вычислите площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.

Решение. .

Ответ. .

67. Определите площадь кругового сегмента, если его периметр равен p, а дуга содержит 120°.

Решение. .

Ответ..

68. Найдите координаты точки на оси x, равноудаленной от двух данных точек A(x1;y1), B(x2;y2).

Решение. Найдем точку пересечения серединного перпендикуляра к AB с осью Ox. - уравнение перпендикуляра.

Ответ. .

69. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны и . Найдите гипотенузу треугольника.

Решение. Достроим (дважды) треугольник до прямоугольника. В прямоугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Ответ. 5.

70. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и вписанного в него кругов.

Решение. Центр вписанной окружности, вершина C прямого угла и точки касания вписанной окружности с катетами a и b - вершины квадрата. Теорема о равенстве отрезков касательных, проведенных из точки C к вписанной окружности,  и расположение центра описанной около прямоугольного треугольника окружности дают два уравнения: p - c = r,  c = 2R (p - полупериметр треугольника). p = r + 2R, S = pr.

Ответ. r (r + 2R).

71. Ромб, у которого сторона равна меньшей диагонали, равновелик кругу радиуса R. Определите сторону ромба.

Решение. , a - сторона ромба.

Ответ. .

72. Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным a, и боковой стороной, равной b. Докажите, что центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании в отношении (a+b) : b, считая от вершины угла.

Указание. Попробуйте поместить в вершины треугольника такие массы, чтобы центр вписанной окружности стал центром масс полученной системы материальных точек. Впрочем, возможно прямое геометрическое вычисление.

73. Даны координаты двух вершин A и B равностороннего треугольника ABC. Найдите координаты третьей вершины.

Указание. A(x1;y1), B(x2;y2). Теорема косинусов (или - скалярное произведение).

Ответ. C.

74. Две стороны треугольника равны соответственно 5 и 8 см, площадь равна 12 см2. Найдите третью сторону.

Решение. Выражаем площадь через синус угла между известными сторонами и - теорема косинусов.

Ответ. 5 см.

75. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 7 и 8 см, а основания 3 и 6 см.

Решение. В трапеции ABCD перенесем параллельно диагональ BD в положение CM. В треугольнике ACM известны все три стороны (9, 8, 7 см), а его площадь равна площади трапеции.

Ответ. см2.

76. Длины диагоналей ромба относятся, как 3:4. Во сколько раз площадь ромба больше площади вписанного в него круга?

Решение. x - сторона ромба, y и 3/4y - половины диагоналей. Площадь ромба выражается через произведение диагоналей, ( - угол между диагональю и стороной ромба, - r - радиус вписанного круга).

Ответ. .

77. Найдите площадь треугольника ABC, если b=11, c=13, m=10 (m - медиана к стороне BC).

Решение. Достроим треугольник ABC до параллелограмма CABD, продолжив медиану AM за точку M на расстояние m. Площадь ABC равна площади ABD, которую найдем по формуле Герона (стороны треугольника ABD равны 13, 11, 20).

Ответ. .

78. Через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям проведена прямая, пересекающая боковые стороны в точках M и N. Докажите, что MN=2ab/(a+b), где a и b - длины оснований.

Решение. Рассмотрим пары подобных треугольников AOM и ACB, DON и DBC, AOD и BOC в трапеции ABCD (O - точка пересечения диагоналей).

79. Даны координаты двух смежных вершин A и B квадрата ABCD. Найдите координаты остальных вершин.

Решение. Если A(x1;y1), B(x2;y2), то D(y1-y2; x2-x1), C(x2-x1+y1-y2; y2-y1+x2-x1) (поворот на прямой угол относительно A).

80. Дан квадрат ABCD. На прямых BD и BC взяты соответственно точки M и N так, что и . Докажите, что угол AMN является прямым тогда и только тогда, когда n = 2m - 1.