Задачи по геометрии для подготовки к экзамену (стр. 5 )

Ответ. .

102. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются. Известно, что AD = 2, CD = 4, BD = 5. Найдите радиусы окружностей.

Решение. Пусть O1 и O2 – центры, r1 и r2 – радиусы, N и M – точки касания окружностей, вписанных в ABD и DBC, с AC, ND = x. Применим теорему косинусов к треугольникам ABC и BCD и исключим косинус C:

Ответ. .

103. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площадей треугольников DOA и BOF равно 3 : 8. Найдите отношение AC : AB.

Решение. AC=y, BC=x. , и – теорема о биссектрисе: y : x = 1 : 2.

Ответ. 1 : 2.

104. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, ф большее основание равно a. Большее основание видно из центра окружности, описанной около трапеции, под углом . Найдите длину боковой стороны трапеции.

Решение. Нужно рассмотреть случаи расположения центра окружности внутри, вне и на большем основании трапеции и опустить перпендикуляры из центра на большее основание и боковую сторону трапеции. и – теорема синусов.

Ответ. .

105. Около трапеции ABCD описана окружность. Хорда CE пересекает диагональ BD в точке M и основание AD в точке N. Найдите BD, если CM = a, MN = b, NE = c.

Решение. Проведем DE. Треугольники MDE и MND подобны, также – треугольники MND и BMC (по двум углам) .

Ответ. .

106. Основание AB трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали AC равна a, а длина боковой стороны BC равна b. Найдите площадь трапеции.

Решение. - равнобедренный. Из треугольников ABC (теорема косинусов) и ADC получаем: , .

Ответ. .

107. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается боковой стороны AB в точке F. Найдите площадь трапеции, если AF = m, FB = n, а меньшее основание трапеции равно b.

Решение. Пусть E и K – точки касания вписанной окружности с меньшим основанием BC и боковой стороной CD, CK = x, KD = y. По теореме о равенстве отрезков касательной имеем BE = n, EC = b – n = CK. Треугольники AOB и COD (O – центр вписанной окружности) – прямоугольные (ABCD – трапеция, AO, BO, CO и DO – биссектрисы углов A, B, C и D); по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике (r – радиус вписанной окружности). Находим y и пишем

Ответ. .

108. Около окружности радиуса r = описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен . Найдите длину отрезка, соединяющего точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из ее боковых сторон.

Решение. O – центр вписанной в трапецию ABCD окружности, E и F – точки касания с основанием AD и боковой стороной AB. Треугольник AOB – прямоугольный (ABCD –трапеция!). . ; AFE – равносторонний треугольник и FE = AF.

Ответ. 2 см.

109. В окружности радиуса R взята дуга в . В сегмент, соответствующий этой дуге, вписан прямоугольник ABCD такой, что AB : BC = 1 : 4; сторона BC лежит на хорде, ограничивающей сегмент. Найдите площадь прямоугольника.

Решение. Пусть BC = 4x. Введем систему координат с началом в центре окружности. Имеем:

Ответ. .

110. Окружность радиуса r касается прямой в точке M. На этой прямой по разные стороны от M взяты точки A и B так, что MA = MB = a. Чему равен радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся данной окружности?

Решение. Искомая окружность касается данной в точке P, диаметрально противоположной в данной окружности точке M, и проходит через A и B. По теореме синусов для треугольника ABC:

Ответ. .

111. В прямоугольнике ABCD AB = a, BC = b. На стороне AB как на диаметре построена окружность, и к ней из вершины C проведена касательная, пересекающая сторону AD в точке K. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник CDK.

Решение. Пусть P – точка касания, CP = CB = b, KP = AK = x. Тогда (x + b)2 = a2 + (b – x)2,  x = a2 / 4b. SCDK = pr = a (b – a2 / 4b) / 2.

Ответ. .

112. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна a.

Решение. Все хорды равны a (по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд). Отрезки, являющиеся средними третями данных хорд, образуют равносторонний треугольник со стороной a/3. Окружность, описанная около этого треугольника, - концентрическая с данной. Расстояние от центра до хорды равно . .

Ответ. .

113. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон AC и BC соответственно в точках M и N и пересекает биссектрису BD в точках P и Q. Найдите отношение площадей треугольников PQM и PQN, если .

Решение. Наши треугольники – прямоугольные (PQ – диаметр вписанной в ABC окружности!).

(O – центр окружности).   (по дугам PN, MP, MN). . Можно считать дальше: .

Ответ. .

114. Биссектриса угла C треугольника ABC делит сторону AB на отрезки a и b (a > b). Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проходящая через C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Решение. треугольники ACD и CBD подобны, AC = ka, BC = kb .

Ответ. .

115. Найдите сумму квадратов расстояний от точки M, взятой на диаметре окружности, до концов некоторой хорды, параллельной этому диаметру, если радиус окружности равен R, а расстояние от точки M до центра окружности равно a.

Решение. O – центр окружности, OM – отрезок радиуса, AB – хорда, параллельная OM. В системе координат с центром O и осью абсцисс OM:

M(a;0), A(-x;y), B(x;y), MA2 + MB2 = (x + a)2 + y2 + (x – a)2 + y2 = 2(x2 + y2) + 2a2 = 2(R2 + a2).

Ответ. 2(R2 + a2).

116. Окружность, проходящая через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках M и N. Точка M удалена от вершин B, C и D соответственно на расстояния 4, 3 и 2. Найдите MN.

Решение. Треугольники MDN и ABC подобны ; треугольники ABC и MBC также подобны (вписанные углы!) .

Ответ. .

117. В треугольнике ABC сторона BC равна a, радиус вписанной окружности равен r. Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон BC и BA, а другая – сторон BC и CA.

Решение. Пусть x – радиусы искомых окружностей. Сразу получаем систему уравнений и решаем ее относительно x.

Получим .

Ответ. .

118. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E, AB=AD, CA – биссектриса угла C, . Найдите угол CDB.

Решение. ABD – равнобедренный треугольник, и . Далее, . Теперь, если F – точка пересечения продолжения DA за точку A и CB, в треугольнике CDF отрезок CA является высотой (по доказанному) и биссектрисой (по условию), поэтому CDF – равнобедренный треугольник и AF = AD = AB, то есть треугольник ABF – равнобедренный, причем . Получаем и .

Ответ. .

119. Перпендикуляры, опущенные из двух вершин прямоугольника на его диагональ, разделили ее на три равные части. Одна сторона прямоугольника равна . Найдите другую сторону.

Решение. Координаты напрашиваются: . Пусть . Напишем уравнения прямых (AC), (BP), (DQ) и вычислим координаты точек P и Q. , тогда (условие перпендикулярности прямых!); d1 = -2 (условие принадлежности точки B этой прямой). Теперь, решая систему (например, по формулам Крамера) , найдем координаты точки P: . Аналогично, , и для точки Q получим: . Остается вычислить квадраты расстояний между A и P, P и Q, Q и C. Это, конечно, просто, и приведет к a = 2. Не забудем еще, что возможен случай, когда ; точно те же рассуждения, что и в первом варианте, дают a = 1.

Ответ. 2 или 1.

120. На стороне AB треугольника ABC взята такая точка M, что AM = 2MB, а на стороне AC – точка K. Известно, что площадь треугольника AMK в 2 раза меньше площади треугольника ABC. В каком отношении точка K делит сторону AC?

Решение. Вспоминаем теорию: .

Ответ. 3 : 1.