Задачи по геометрии для подготовки к экзамену (стр. 4 )

Указание. Векторный метод.

81. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S. Определите боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен 30°.

Решение. Если a и b - основания, то боковые стороны равны (a+b)/2, площадь трапеции равна r(a+b), 2r = (a+b)/2. Отсюда (a+b)2 = 4S.

Ответ. .

82. Из точки O выходят два вектора и . Найдите какой-нибудь вектор, идущий по биссектрисе угла AOB.

Решение. Диагональ ромба - биссектриса его угла, а сумма векторов ориентирует диагональ параллелограмма. Параллелограмм, построенный на двух векторах, является ромбом, если модули векторов равны.

Ответ. .

83. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Определите отношение площадей этих сегментов.

Решение. Длина хорды равна (теорема синусов), здесь R - радиус круга. Теперь находим площадь сегмента, вмещающего центральный угол .

Ответ. .

84. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна 32 см2; острый угол трапеции равен 30°. Определите площадь описанного круга.

Решение. (a, b - основания трапеции. r - радиус вписанного круга). r = 2. Около равнобочной трапеции можно описать круг.  a + b =16. Квадрат диагонали трапеции равен (теорема косинусов) . Радиус описанного круга находим по теореме синусов и пишем

Ответ. см2.

85. В треугольнике ABC даны длины его сторон BC=5, CA=6, AB=7. Найдите скалярное произведение векторов и .

Решение. По теореме косинусов находим косинус угла B, далее - по определению скалярного произведения: ,

Ответ. -19.

86. Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей равна 15 см. Найдите площадь ромба.

Решение. S = pr, причем r = 6 см. Пусть x - сторона ромба. Теорема Пифагора дает результат.

Ответ. 150 см2.

87. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Вычислите .

Решение. . Все векторы линейно выражаются через и .

Ответ. .

88. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и CF. Найдите .

Решение. и т. д.

Ответ. .

89. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 см. Найдите площадь треугольника.

Решение. Достроим конфигурацию до параллелограмма. Как?

Ответ. 8 см2.

90. Дан прямоугольник ABCD и точка M. Докажите, что: 1) ;

2) MA2 + MC2 = MB2 + MD2.

Указание. Введите координаты.

91. На стороне BC треугольника ABC взята точка M так, что BM=2CM. Точки K и L выбраны на сторонах AC и AB соответственно так, что AK=2CK, BL=3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок AM?

Указание. Примените векторный метод, взяв в качестве базисных векторы и .

Ответ. 3 : 4.

92. В круге с центром O проведены два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD. На радиусе OB взята точка K так, что OK=OB/3, а на радиусе OD – точка M так, что OM=OD/2. Докажите, что точка пересечения прямых CK и AM лежит на данной окружности.

Указание. AB и CD - оси координатной системы.

93. В параллелограмме со сторонами a и b и углом   проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение. Полученный четырехугольник - прямоугольник (биссектрисы противоположных углов параллельны, сумма прилежащих к одной стороне параллелограмма углов равна ); стороны находятся из прямоугольных треугольников.

Ответ. .

94. Стороны a, b, c (a < b < c) треугольника образуют арифметическую прогрессию. R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей. Докажите, что ac = 6Rr.

Решение. Решаем задачу “с конца”. Пусть ac = 6Rr. Уменьшаем число параметров (p – полупериметр, S – площадь треугольника): - верно (арифметическая прогрессия!). Преобразования обратимы – все доказано.

95. В окружность радиуса R вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части. Радиус второй окружности равен r. Найдите отношение r / R.

Решение. Пусть D – точка касания второй окружности со стороной AC треугольника ABC. Центр этой окружности (концентрической с описанной около треугольника ABC) лежит на серединном перпендикуляре к AC, поэтому AD = DC и, следовательно, AB = BC. По теореме о степени точки (здесь нужна точка A) относительно окружности имеем: .

Ответ. 5/9.

96. В треугольнике ABC . Центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.

Решение. Пусть O – центр окружности, проходящей через точки A1, B1, C1 – середины сторон треугольника. или . В первом случае получим AC = BC – но это невозможно (нарушается неравенство треугольника!). Во втором случае четырехугольник CA1OB1 – вписанный и . Теперь – теорема косинусов.

Ответ. AC = 10.

97. Около прямоугольника описана окружность. Сумма квадратов расстояний от точки M окружности до всех вершин прямоугольника равна a. Найдите площадь круга.

Решение. Треугольник AMC – прямоугольный, MA2 + MC2 = 4R2, a = 8R2.

Ответ. .

98. Окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных и их общей внешней касательной.

Решение. A, B – общие точки внешней касательной окружностей радиусов R и r, O1 и O2 – их центры, O3 и x – центр и радиус третьей окружности. Проведем через O2 и O3 прямые, параллельные AB. Из получившихся прямоугольных треугольников имеем: .

Ответ. .

99. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Катеты равны a и b. Найдите расстояние между точками пересечения высот двух получившихся треугольников.

Решение. Самый естественный и надежный метод – координаты.

Ответ. .

100. ABCD – описанный четырехугольник. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются друг друга.

Доказательство. Пусть K и M – точки касания вписанных в ABC и ACD окружностей с диагональю AC четырехугольника. По теореме об отрезках касательной: .

101. В параллелограмме со сторонами 2 и 4 проведена диагональ длиной 3. В каждый из получившихся треугольников вписано по окружности. Найдите расстояние между их центрами.

Решение. ABCD – параллелограмм. Вписанные в треугольники ABD и BCD окружности равны, r – их радиусы, O1 и O2 – центры, K и E – точки касания с BD. . .