Задачи по геометрии для подготовки к экзамену (стр. 1 )

Задачи по геометрии для подготовки к экзамену

9 класс

Н. Новгород, 2010

В течение нескольких лет некоторые из предлагаемых задач  (в различных вариациях) включались в практическую часть экзаменационных испытаний. Лицеистам заранее должны быть известны требования, предъявляемые к ним на экзамене по геометрии, – такова принципиальная позиция автора пособия.

Задачи по геометрии. 9 класс

1. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, равные 7 и 24. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение. Теорема о биссектрисе угла треугольника.

Ответ. r = 93/25.

2. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность периметров этих шестиугольников равна a.

Решение. Учебник геометрии, в нем - формулы, их надо учить и запомнить.

Ответ. .

3. Равнобочная трапеция с острым углом описана около окружности радиуса r. Найдите площадь трапеции.

Решение. Найдем сразу боковую сторону, следовательно - среднюю линию.

Ответ. .

4. В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник ACD.

Решение. Сторона шестиугольника равна R. Треугольник ACD - прямоугольный.

Ответ. .

5. Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC.

Решение. Пусть O - центр описанной окружности треугольника CKE. , .

6. Пусть a - длина стороны правильного пятиугольника, d - длина его диагонали.

Докажите, что d2 = a2 + ad.

Решение. Т. к. BC - касательная к описанной окружности треугольника CKE (см. задачу 5), то .

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен 30°. Найдите радиус окружности с центром в вершине угла в 30°, делящей данный треугольник на две равновеликие части.

Решение. Формула площади сектора.

Ответ. .

8. В прямоугольном треугольнике ABC даны длины катетов CB=a, CA=b. Найдите расстояние от вершины C до ближайшей к C точки вписанной окружности.

Решение. CO = , 2pr = ab, d = CO - r.

Ответ. .

9. В прямоугольном треугольнике медиана длиной m делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника.

Решение. AM=MB=CM=c/2=m, треугольник CAM - равнобедренный с углом при основании AB в 30°.

Ответ. .

10. В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно k. Найдите угол при основании.

Решение. .

Ответ. .

11. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота в 2 раза меньше ее боковой стороны. Найдите радиус вписанного в трапецию круга.

Решение. Если c – боковая сторона, то S = 2cr = 2c(h/2) = 2c(c/4) = c2/2.

Ответ. .

12. Дан полукруг с диаметром AB. Через середину дуги полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр AB?

Решение. Площади частей полукруга вычисляются, одна из них - равнобедренный треугольник.

Ответ.

13. Дан квадрат ABCD со стороной a. На стороне BC взята точка M так, что BM=3MC, а на стороне CD - точка N так, что 2CN=ND. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AMN.

Решение. Найдите стороны треугольника AMN и примените метод площадей.

Ответ. .

14. Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке K, известно, что AB=a, BK=b, AK=c, CD=d. Найдите длину диагонали AC.

Решение. ,  значит треугольники AKB и CKD подобны.

Ответ. (ac + bd) / a.

15. Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапеции составляет с боковой стороной угол , а с диагональю - угол . Найдите отношение площади круга к площади трапеции.

Решение. Теорема синусов: .

Ответ .

16. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно k. Найдите угол при основании треугольника.

Решение. В качестве параметров удобно взять угол при основании и боковую сторону треугольника.

Ответ. .

17. Через вершины A и B треугольника ABC проходит окружность радиуса r, пересекающая сторону BC в точке D. Найдите площадь круга, проходящего через точки A, D и C, если AB=c, AC=b.

Решение. Теорема синусов: c/sin(ADB)=2r; в ACD AC/sin(ADC) = AC/sin(ADB)=2R.

Ответ. .

18. На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках M и N. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна S, а угол BAC равен .

Решение. AM/AC = AN/AB = k - коэффициент подобия, S1/S = k2. k = AM/AC =, т. к. треугольник AMC - прямоугольный (BC - диаметр окружности).

Ответ. .

19. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) медиана AD перпендикулярна биссектрисе CE. Определите величину угла ACB.

Решение. Пусть O - точка пересечения медианы AD и биссектрисы CE. В треугольнике ACD биссектриса CO является высотой, поэтому AC = CD, значит BC = 2CD = 2AC,  cosC = (1/2) AC : BC = 1/4.

Ответ. arccos(1/4).

20. В треугольнике ABC BC2 + AC2 = 5AB2. Докажите, что медианы AM и BN перпендикулярны.

Решение. . Тогда , . ; по условию, a2+b2=5c2, и .

21. Шестиугольник ABCDEF впмсан в окружность. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE.

Решение. Пусть O - центр описанной окружности. Т. к. AD, BE, CF - диаметры, то пл. ABO = пл. DEO = пл. AEO, пл. BCO = пл. EFO = пл. CEO, пл. CDO = пл. AFO = пл. ACO.  Пл. ABCDEF = 2(пл. ABO + пл. BCO + пл. CDO), пл. ACE = пл. AEO + пл. CEO + пл. ACO, значит пл. ABCDEF = 2•пл. ACE.

22. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что длина одной из ее диагоналей равна 5.

Решение. Пусть диагональ AC трапеции ABCD с основанием AD равна 5. Достроим треугольник ACB до параллелограмма ACBE.  Площадь трапеции ABCD равна площади прямоугольного треугольника DBE. BH - высота трапеции, EH2 = BE2 - BH2 = 52 - 42 = 9,  ED = BE2/EH = 25/3, поэтому пл. DBE = ED·BH/2 = 50/3.

Ответ. 50/3.

23. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Решение. a, b, c - длины сторон, a < b < c. Тогда 2b = a + c, 2пл. ABC = r(a + b + c)=3rb и 2пл. ABC = b·h2, значит r = h2/3.

24. Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по  сторонам прямого угла ABC. По какой траектории движется середина этого отрезка?

Решение. Если M и N - концы отрезка, O - его середина, то точка B (вершина прямого угла) лежит на окружности с диаметром MN, поэтому OB=MN/2. Траекторией точки O является часть окружности радиуса MN/2 с центром B, заключенная внутри угла ABC.

25. Найдите площадь ромба ABCD, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD равны R и r.

Решение. Если x - острый угол, то диагонали d1=2R•sinx и d2=2r•sinx (теорема синусов); tg(x/2)=r/R и т. д.