Так как нормальное и касательное ускорения в общем случае могут менять направление и численное значение с течением времени, то в дальнейшем речь будет идти о их мгновенных значениях.
Обозначение: касательное - аk :
Направлено по касательной к траектории в сторону движения тела.
нормальное - аn :
Направлено по нормали к касательной к центру окружности.
По определению нормальное и касательное ускорения перпендикулярны друг другу и :
а = аn + аk (1.8)
Где а - полное ускорение тела.
Наличие нормального ускорения в данной точке показывает, что тело меняет направление движения т. е. направление скорости (но не модуля скорости). В случае движения по окружности с постоянной скоростью модуль скорости не меняется, а меняется лишь ее направление.
Наличие касательного ускорения в данной точке показывает, что тело меняет модуль скорости. При этом нормальное ускорение может равняться нулю. Например в случае прямолинейного движения тела.
Таким образом формула (1.6) приобретает вид:
an + аk = (V - Vo) / t (1.9)
Значение, полученной формулы в том, что она применима к любому виду движений, рассматриваемых дальше. Т. е. появляется возможность описания более частных случаев.
И так, для определения положения тела в любой момент времени вводятся физические величины: перемещение, скорость и ускорение. Это позволяет описать механическое движение тела посредством математических формул. Составление и применение этих формул возможно только в случае выбора системы отсчета.
Далее будут рассмотрены частные случаи движения тел.
1.РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ.
Пусть аn = 0 , тогда направление скорости не меняется и следовательно тело движется по прямой.
Пусть аk = 0 , тогда модуль скорости не меняется и следовательно V= const.
Из (1.9), так как t ≠ 0 то V - Vo = 0 и V = Vo
Из последнего равенства следует, что, при перечисленных условиях, скорость тела одинакова для любых моментов времени и вычисляется по формуле:
V = S / t (1.10)
Так как V = const то за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения (это определение данного вида движения). Причем под V можно понимать как мгновенную, так и среднюю скорость. При равномерном движении их величина и направление совпадают. Перемещение в этом случае вычисляется по формуле:
S = V t (1.11)
Для проекции перемещения получаем:
Sx = Vx t (1.12)
Учитывая (1.1) для координаты X:
X = Xo + Vx t (1.13)
Из (1.11) следует, что перемещение, совершаемое телом, прямо пропорционально скорости и времени движения. График зависимости Vx(t) имеет следующий вид :
На рис 12 скорость направлена в сторону оси Оx, а на рис 13 - в противоположную.
Но и в том и в другом случае графиком является прямая параллельная оси t. Графики располагаются выше и ниже оси времени.
Заметьте, что площадь фигуры, образованной графиком Vx(t) и осями координат, учитывая (1.12) численно равна проекции перемещения тела.
2.ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ.
Пусть аn = 0, тогда направление вектора скорости не меняется и следовательно тело движется по прямой
Пусть аk = const, тогда из (1.9) V - Vo / t = const и значит за любые равные промежутки времени тело меняет скорость на одну и ту же величину (определение этого вида движения).
В этом случае для конечной скорости справедлива формула:
V = Vo + a t (1.14)
Из (1.14) следует что график зависимости Vx(t) имеет вид прямой с началом в точке (0,Vox) и составляет острый угол с осью Оx, если а(x) > 0 и тупой, если а(x) < 0.В первом случае проекция скорости увеличивается, во втором - уменьшается. (рис 14)
Выведем формулу для нахождения зависимости перемещения от времени
Разобьём график движения тела Vx(t) (рис 15) на малые участки так, что можно считать на каждом из них движение равномерным. Проекция перемещения на каждом участке будет равна площади этого участка. Следовательно проекция перемещения будет численно равна площади под прямой т. е. площади трапеции.
Sx = Vox t +
аналогично: (1.15)
Sy = Voy t +
Умножая обе части первого равенства на единичный вектор i, а второго на j и складывая их, получим формулу перемещения в векторном виде:
Sx i + Sy j = (Vox i + Voy j) t + (a i + a j)
S = Vo t + (1.16)
задание: Самостоятельно получите формулу: 2 S a = V - Vo
3.ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ
Пусть аk= 0, тогда модуль скорости остаётся неизменным.
Пусть аn = const, тогда V - Vo / t = const.
Учитывая, что модуль скорости не меняется, получаем: тело меняет направление скорости за равные промежутки времени на одну и ту же величину, т. е. движется по окружности.
Ранее говорилось о том, что нормальное ускорение всегда направлено к центру дуги окружности, по которой в данный момент движется тело. Покажем это.
Рассмотрим движение тела по окружности радиусом r. В точках А и В вектор скорости направлен по касательной (рис 16). Если А и В расположены близко друг к другу то дуга АВ не отличается от хорды АВ. Вектор а сонаправлен с вектором VВ - VА. При уменьшении АВ ΔV будет стремиться вдоль радиуса к центру окружности, следовательно и нормальная составляющая ускорения имеет то же направление. Поэтому ее также называют центростремительным ускорением.
задание: Вывести формулу а = (1.17)
Движение по окружности в общем случае характеризуется также следующими величинами:
период ( Т ) - время одного оборота тела [ с ]
За это время тело проходит расстояние равное длине окружности значит средняя скорость на пути равна
V = 2 π r / T (1.18)
частота обращения ( n ) - число оборотов в единицу времени. Величина обратная периоду т. е.
n = = [ ] (1.19)
Положения тела в случае его движения по окружности определяют посредством угла, на который поворачивается радиус-вектор. Начальное положение радиус-вектора задается произвольным образом.
угловая скорость - угол на который поворачивается радиус-вектор за единицу времени.
w =φ / t [ ] (1.20)
УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ - это изменение угловой скорости за единицу времени.
ε= ( w - wo) / t [ рад/с] (1.21)
CВЯЗЬ УГЛОВЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ВЕЛИЧИН
задание: Заполните таблицу
виды движения | ¦перемещение | скорость | ускорение нормальное | ускорение касательное | ускорение полное |
ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ.
Очень часто движение тел рассматривают относительно какого - либо другого тела, которое в свою очередь перемещается по отношению к телу отсчёта, принятому условно за неподвижное.
Движение тела относительно системы отсчета, связанной с подвижным телом отсчёта, называют относительным.
Движение подвижной системы относительно неподвижной - переносным.
Результирующее движение тела относительно неподвижной системы отсчёта называют абсолютным.
Выведем закон сложения скоростей. Пусть тело движется по отношению к подвижной системе координат с постоянной скоростью Vотн, а подвижная система по отношению к неподвижной со скоростью Vпер.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
