Механика Конспекты для учащихся 9 физико-математического класса (стр. 5 )

Покажем это на примере (рис 3).

M1 = F1 d1  M2 = F2 d2

M = |M 1| - |M 2|

Знак минус поставлен потому, что первая сила стремится повернуть тело против часовой стрелки (это направление выбранно условно положительным), а вторая - по направлению.

Выведем основное уравнение динамики вращательного движения.

Если тело начинает вращаться, то скорость всех частиц, его составляющих, меняется - они движутся с ускорением. Из динамики материальной точки известно, что это возможно лишь в случае действия силы.

Рассмотрим процесс возникновения вращательного движения более подробно (рис 4).

Пусть тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси. Разобьем его на конечное число (n) очень малых частей (частиц), которые можно считать материальными точками и приложим к одной из них внешнюю силу под некоторым углом к радиус - вектору. Ясно, что посредством взаимодействия частиц между собой действие внешней силы передается на все тело. Тогда по второму закону Ньютона для каждой частицы можно записать

       m1 a1 = F + Fвн1

       m2 a2 = Fвн2

       m3 a3= Fвн3.....

Проецируем, полученные уравнения на ось OY

       m1 a1k = F1 sin (α) + Fвн1

       m2 a2k = Fвн2;        m3 a3k = Fвн

Где аk - касательное ускорение частиц. Учитывая, что аk = ε r, и умножая, обе части  каждого уравнения на r получим.

       m1 r1 ε = F r1 sin (α) + Fвн1 r1

       m2 r2 ε = Fвн2 r2;

m3 r3 ε = Fвн3 r3 

.............

Так как тело состоит из n частиц, то для нахождения искомого уравнения, складываем левые и правые части выражений. При этом учтем, что по третьему закону Ньютона, для любой внутренней силы найдется сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению. Моменты этих сил равны по модулю, но имеют разные знаки. Поэтому, сумма моментов всех внутренних сил будет равна нулю и в правой части остается только момент внешней силы.

                       ∑( mi ri ) = F r sin (α) = M                        (3.2)

Выражение в скобках назвали моментом инерции тела относительно оси вращения.

Обозначение: I

Единицы измерения: [ кг м ]

Формула: I = m r

Надо отметить, что по определению, момент инерции - величина, наличие которой не зависит от того вращается тело или нет. Подобно массе тела наличие данной характеристики тела проявляется лишь при определенных условиях - при вращении тела.

Тогда формулу (3.2) можно записать следующим образом

               I ε = M                        (3.3)

Это основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Физический смысл этого уравнения: для того, чтобы тело вращалось с угловым ускорением, т. е. меняло угловую скорость необходимо, чтобы момент всех внешних сил, действующих на тело был отличен от нуля.

Сравнивая уравнение динамики материальной точки и данное уравнение можно  заключить, что момент инерции - это мера инертности тела, при его вращательном движении. Для вращения тела с постоянной угловой скоростью не нужно действия других тел.

Рассмотрим случай свободного движения тела, то есть тела, не имеющего закрепленной оси вращения. Из второго закона Ньютона следует, что это тело должно двигаться равноускоренно как целое, если равнодействующая всех сил отлична от нуля. Из уравнения динамики вращательного движения следует, что в общем случае оно должно вращаться. Точка относительно, которой происходит вращение называется центром масс или центром тяжести тела.

Выведем формулы для нахождения положения центра тяжести.

Для этого заметим, что момент внешних сил относительно нее равняется нулю, так как сама точка не вращается, следовательно момент относительно, случайно выбранной точки, всех внешних сил, действующих на тело, должен равняться моменту равнодействующей силы, приложенной в центре масс этого тела.

Используем данные рассуждения для нахождения координат центра тяжести тела.

Пусть некоторое твердое тело находится в гравитационном поле. Тогда на каждую частицу тела действует сила тяжести (рис 7).

Fi = mi g

Момент этих сил относительно случайной точки О по определению равен

Mi = mi g xi

M = ∑Mi = ∑( mi g xi) = g ∑(mi xi)

С другой стороны, он равен моменту силы тяжести, действующей на все тело M = m g x

Где x - координата центра тяжести.

Приравнивая выражения в левых частях равенств, получим

X = ( m1x1 + m2x2 + ...) / (m1 + m2 + ...)

Аналогично выводятся формулы для нахождения координат Y и Z центра тяжести.

Y = ( m1y1 + m2x2 + ...) / ( m1 + m2 + ...)

И так, если на свободное тело действуют внешние силы, то движение этого тела

описывается следующими уравнениями динамики:

               a = F / m        

                                       (3.4)

               Iε = M

Где а - ускорение центра тяжести (центра масс) тела.

СТАТИКА

Раздел механики, изучающий условия равновесия тела или системы тел. Под равновесием понимают ситуацию, когда центр масс покоится или движется равномерно и прямолинейно и тело вращается относительно этой точки с постоянной угловой скоростью. (тело не вращается в случае, когда угловая скорость равна нулю - тоже постоянна).

Условия равновесия тела легко получаются из уравнений динамики (3.4). Исходя из  определения равновесия оно возможно лишь в случае, когда равнодействующая сил и их суммарный момент равны нулю. Тогда получаем:

I ε = 0                                (3.10)

m a = 0

В зависимости от конкретной ситуации различают следующие виды равновесия:

1.Устойчивое равновесие - тело, отклоняемое от положения равновесия, возвращается в первоначальное положение.

ПРИМЕР: Шарик находится в полукруглой лунке (рис 8).

2. Неустойчивое равновесие - когда возврата в исходное состояние не происходит. ПРИМЕР: Шарик находится на вершине выпуклой плоскости (рис 9).

3. Безразличное - когда говорить о равновесии тела бессмысленно.

ПРИМЕР: Шарик находится на идеальной горизонтальной плоскости (рис 10).

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Тела (частицы), образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние.

Если внешние силы отсутствуют, то система называется замкнутой.

Для такой системы существуют физические величины, которые остаются неизменными  (сохраняют свое значение) до тех пор пока выполняется условие замкнутости. Законы сохранения этих величин носят название законов сохранения.

Универсальность этих законов в том, что они выполняются для замкнутых систем, имеющих любые массу, размеры и скорость центра масс (естественно, не большую скорости света в вакууме). Т. е. выполняются как для галактик, так и для атомов.

Сохраняющихся величин три: импульс, момент импульса, энергия (в пределах школьного курса механики).

Законы сохранения являются следствием свойств пространства и времени.

В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени. Замена одного момента времени другим без изменения значений координат и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы как целого.

В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства., т. е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос из одной точки в другую не изменяет механические свойства системы.

В основе сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот системы как целого не отражается на ее механических свойствах.

Нарушение законов сохранения очевидно говорит об изменении свойств пространства. По данным современной физики примером такой области служит черная дыра. Это область, в которой сосредоточена очень большая масса (порядка 2 - 3 солнечных масс) в очень малом объеме (шарик радиусом 10 см). Законы сохранения не зависят от характера действующих сил. Поэтому с их помощью можно получить ряд важных сведений о свойствах системы даже в случаях, когда силы не известны.

Ниже будут получены законы сохранения исходя из уравнений Ньютона. Однако следует иметь в виду, что закон - это аксиома природы и вывести его строго теоретически нельзя. Законы сохранения обладают гораздо большей общностью чем законы Ньютона и остаются справедливыми даже в случаях, когда законы Ньтона нарушаются. Если говорить с точки зрения причины и следствия, то из законов сохранения следуют законы Ньютона.

Необходимо понимать, что идеальных замкнутых систем в природе не бывает. В силу того, что любая величина в физике измеряется с определенной погрешностью в ряде случаев реальную систему тел можно считать идеальной в пределах погрешности, а значит применять к такой системе законы сохранения.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Пусть два тела образуют замкнутую систему. Значит внешние силы на них не действуют, присутствуют лишь силы взаимодействия между телами.