Расчетная рабюота №2 Задача оптимального управления запасами (стр. 7 )

Приведенная таблица условной оптимизации l - го шага имеет более сложную форму,  чем рассмотренные до сих пор таблицы.  Одна­ко это не приводит к усложнению процедуры вычислений,  в чем мы убедимся, рассмотрев примеры  задач управления запасами.

Пример решения задачи управления запасами

  Определить оптимальное пополнение запасов рас­ходных материалов одной номенклатуры в течение периода эксплуа­тации радиоэлектронной аппаратуры, равного четырем годам.  Началь­ный уровень запасов (в партиях) равен 2,  конечный уровень запасов равен нулю. Расход запасов по годам эксплуатации представлен в таблице 8.

Таблица  8

Год	1	2	3	4
Расход (в партиях)	3	1	2	2

  Пополнение запасов производится мгновенно, целыми пар­тиями. Зависимость затрат на хранение и пополнение в течение любого года эксплуатации от соответствующего числа партий запасов, как находящихся на хранении, так и пополняемых, задана в таблице 9.

Таблица 9

Объем запасов, (в партиях)	0	1	2	3	4	5	6
Затраты на хранение, усл. ед.	0	8	30	49	58	62	65
Затраты на пополнение, усл. ед.	0	22	32	35	50	70	90

  Процесс управления запасами представим в виде четырехшагового процесса,  где в качестве шага управления выступает промежу­ток времени, равный одному году.  Начальное состояние системы   определяется начальным уровнем запасов m = 2. Конечное состояние  определяется конечным уровнем запасов c = 0.

  Так как расход на произвольном  l  - м шаге  определяется управлением , то  таблица 8 может быть преобразована в таблицу 10.

Таблица  10

l, год	1	2	3	4
	3	1	2	2

В соответствии с принятыми ранее обозначениями преобразуем таблицу 9 в таблицу 11.

Таблица  11

k, партий	0	1	2	3	4	5	6
усл. ед.	0	8	30	49	58	62	65
j, партий	0	1	2	3	4	5	6
усл. ед.	0	22	32	35	50	70	90

  Определим число возможных начальных и промежуточных состоя­ний на каждом шаге.

  Начнем с последнего, четвертого шага. Так как конечное состояние c4 = 0, а расход на четвертом шаге в соответствии с таблицей  10  s4 = 2, то воспользовавшись выражением (12),получим

0 ≤  q3  ≤ 2.

  Это означает, что в начале четвертого (конце третьего) шага
возможными состояниями являются состояния  Промежуточное состояние четвертого шага будет  только одно. Сог-
ласно (25)        

(q + h)4 = c4 + s4 = 0 + 2 =2,

следовательно, промежуточное состояние имеет обозначение  .

  Перейдем к третьему шагу. Для нахождения числа возможных

состояний в начале третьего шага воспользуемся выражением (21),

которое для рассматриваемой задачи запишется следующим образом:

0 ≤ k2 ≤ q3max  + p3.

Так как q3max = 2, а  р3  = 2 (это значение расхода на третьем шаге определяется из таблицы 10),  то

0 ≤ k2 ≤ 4.

Следовательно,  возможными состояниями в начале третьего шага будут состояния  . Промежуточ­ные состояния на третьем шаге найдем в соответствии с выражением (32),  которое для данной задачи будет иметь вид:

p3 ≤ (k+j)3 ≤ q3max  + p3.

Подставив соответствующие значения  q3max  и  p3,  найдем

2 ≤ (k+j)3≤ 4.

  Таким образом,  промежуточными состояниями третьего шага являются состояния  .

  Начальные состояния второго шага найдем воспользовавшись отношением (22),  которое примет вид:

0 ≤ k1 ≤ k2max  + p2.

После подстановки значений  k2max = 4  и  р2= 1,  получим

0 ≤ k1 ≤ 5,

откуда следует,  что возможными начальными состояниями второго шага являются состояния

  Для определения промежуточных состоянии на втором шаге воспользуемся выражением (33). Подставив значения  р2  и  k2max в это выражение, получим

0 ≤ (k+j)2 ≤ 5,

Следовательно, промежуточными <  стояниями на втором шаге, являются состояния , .

  Наконец, рассмотрим первый шаг. Начальное состояние первого шага иэзестно, это начальное состояние системы  . Что касает­ся промежуточных состояний, то их можно определить в соответствии с (33), которое для первого шага запишется следующим образом:

p1 ≤ (k+j)1 ≤ k1max  + p1.

Подстановка значений  k1max и  р1  в это выражение дает

3 ≤ (k+j)1 ≤ 8,

что и определяет промежуточные состояния на первом шаге , , .

  Проведенный расчет позволяет построить граф состояний рас­сматриваемой системы управления запасами,  который представлен на рис. 2.

  Приступим к решение задачи.  Начнем с оптимизации последнего четвертого шага.  Начальными состояниями четвертого шага являются состояния Согласно таблице 7 составим таблицу оптимизации четвертого шага (таблица 12).

Таблица 12

В первой строке запишем возможные состояния системы в начале четвертого шага.  Поскольку перевод системы из начального в конечное состояние на каждом шаге осуществляется под воздействие двух управлений, запишем эти управления (для каждого начальной состояния шага во второй и третьей строках.

  В рассматриваемой задаче для каждого начального состояния четвертого шага существует только одна пара управлений, которые переводят систему из начального в конечное состояние.

  Для заполнения четвертой и пятой строк воспользуемся табли­цей 11. Начальное состояние соответствует тому, что объем запасов в начале четвертого шага равен нулю. В соответствии с таблицей  11 затраты на их хранение равны нулю, что и записано в соответствующей клетке таблицы 12.