Подборка задач на механические колебания (стр. 2 )

Период колебаний математического маятника:

.  (10)

Рассмотрим вывод формулы для периода колебаний математического маятника двумя способами, позволяющими определять период колебаний.

Динамический метод получения  уравнения гармонических колебаний математического маятника (см. схему типизации задач).

В процессе колебаний на шарик действуют две силы: сила тяжести и сила упругости нити , направленная вдоль нити (рис. 8). Будем предполагать, что сила трения пренебрежимо мала. Вектор силы тяжести удобно разложить на две составляющие: тангенциальную , направленную по касательной к траектории перпендикулярно к нити, и нормальную , направленную вдоль нити. Сила упругости и составляющая силы тяжести перпендикулярны к скорости маятника и сообщают ему нормальное ускорение. Действие этих сил не меняет скорость маятника по модулю, а приводит лишь к изменению направления скорости. Вектор скорости непрерывно «поворачивается», так что в любой момент времени скорость направлена по касательной к дуге окружности – траектории маятника. Тангенциальная составляющая силы тяжести создаёт тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю. Она всегда направлена к положению равновесия, и именно она вызывает колебания маятника [4, с. 12].

Так как при гармонических колебаниях математического маятника угол отклонения нити предполагается малым, то дуга AE, по которой движется груз, мало отличается от полухорды AB2 (рис. 9). Поэтому можно считать, что груз маятника движется по хорде, вдоль которой направлена координатная ось. Уравнение движения математического маятника (второй закон Ньютона) в проекции на касательную к дуге AE (рис. 9) имеет вид (проекция силы упругости на касательную равна нулю, – ускорение). Так как (из треугольника АВО), то можно записать:

.  (11)

Таким образом, мы получили уравнение, описывающее колебания математического маятника  (гармонического осциллятора).

Решением уравнения гармонического осциллятора

.  (12)

является функция вида 

.  (13)

Величину щ по аналогии с движением материальной точки по окружности называют круговой или циклической частотой колебаний (см. пункт 4). Зная её, легко найти период колебаний математического маятника:

.

[Утверждение о том, что решением дифференциального уравнения (12) является функция вида (13), легко проверить. Для этого необходимо два раза продифференцировать функцию (13) по времени:

Теперь осталось подставить вторую производную в уравнение (11) и убедиться в верности подстановки:

.

Таким образом, для нахождения периода колебаний любой системы достаточно получить дифференциальное уравнение для величины, совершающей колебание, в виде (12) и, взяв из него значение для циклической частоты, получить искомую формулу. – Д. И.]

Энергетический  метод получения  уравнения гармонических колебаний математического  маятника. Найдём полную механическую энергию маятника в произвольный момент времени. Учтем, что при колебаниях математического маятника угол отклонения нити от  положения равновесия очень мал (рис. 10):

Рис. 10

       

Так как угол α мал, то

  (14)

Находим производную от обеих частей (14), причём:

1) возьмём производную по времени от сложной функции;

2) сохранение энергии означает, что, несмотря на изменение составляющих: кинетической и потенциальной, их сумма есть величина постоянная во времени, а значит, производная от постоянной есть нуль;

3) если отклонение системы от положения равновесия характеризуется величиной x (причём это может быть не только декартовая координата, но и угол отклонения маятника, или глубина погружения колеблющегося тела в жидкость), то первая производная от этой величины определяет скорость изменения величины x (см. сноску 1):

Мы снова получили дифференциальное уравнение колебаний (11), но энергетическим способом. Приравниваем и получаем .

Уравнение  гармонических колебаний математического маятника для углового отклонения маятника. Используя взаимосвязь длины дуги и угла, выраженного в радианах, можно получить выражения для связи угловых и линейных величин, характеризующих движение математического маятника:

  (15)

Подставив данные выражения в формулу (9), получим:

Таким образом, угол отклонения также удовлетворяет уравнению колебаний, то есть совершает колебания по тому же гармоническому закону, что и линейное отклонение.

Отметим тот факт, что в роли обобщённой координаты может выступать не только линейная, но и угловая координата, и при составлении уравнения энергии необходимо, чтобы скорость была именно производной от той обобщённой координаты, которой описывается смещение из положения равновесия.

Период колебаний пружинного маятника: .        

Динамический метод получения уравнения гармонических колебаний пружинного маятника. Вывод уравнения колебаний для горизонтального пружинного маятника с помощью второго закона Ньютона в силу общеизвестности  рассматривать не будем. [Однако, учёт постоянной силы, действующей на маятник (силы тяжести в случае вертикального маятника) поучителен.

В положении равновесия сила тяжести, действующая на маятник, уравновешивается силой упругости (рис. 11, а):

.  (16)

В произвольном положении (рис. 11, б) ,
откуда в проекции на ось Х:

.

Заменяя mg согласно (15), получаем

.        (17)

Мы получили дифференциальное уравнение в виде (11). При этом из (17) следует, что . – Д. И.]

Энергетический  метод получения уравнения гармонических колебаний пружинного маятника.  Рассмотрим обычный горизонтальный пружинный маятник. В  отсутствие силы трения . Находим производную от обеих частей последнего равенства:

–

получили  уравнение, описывающее колебания пружинного маятника. Следовательно,

и .  (18)

Вывод уравнения колебаний для вертикального маятника лишь немногим длиннее, оставим этот вывод читателям.