Подборка задач на механические колебания (стр. 4 )

Решение. В положении равновесия (рис. 21) сила тяжести, действующая на цилиндр, уравновешена силами Архимеда, действующими на цилиндр со стороны двух несмешивающихся жидкостей:

.

Рис. 21

Чтобы возникли колебания, цилиндр необходимо вывести из положения равновесия, например, погрузить на малую величину x вниз. При этом глубина погружения цилиндра в жидкости плотностью 1000 кг/м3 увеличится на x, а в жидкости  плотностью 800 кг/м3  уменьшится на x. Изменение глубины погружения цилиндра в жидкостях приводит к изменению числовых значений сил Архимеда, следовательно,  возникает возвращающая сила, направление которой, противоположно оси X (рис. 22):

Рис. 22

По второму закону Ньютона:

,

поэтому, учитывая условие равновесия , после преобразований получаем уравнение, описывающее малые колебания однородного цилиндра на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей:

.

Выражение является квадратом циклической частоты колебаний: . Так как , то выражение для расчёта массы цилиндра имеет вид:

,

а числовое значение массы составляет 0,2 кг.

Задача 2.5 [3, № 2.11, с. 20; 6, № 30.29, с. 384]. В сосуде, разделённом поршнем массой m и имеющим площадь поперечного сечения S, находится идеальный газ (рис. 23). В равновесии поршень расположен посередине сосуда, давление в каждой половине p, объём половины сосуда V. Если поршень сдвинуть влево на расстояние x и отпустить, то возникнут колебания. Определите период малых колебаний поршня, если процесс изотермический, а трением можно пренебречь.

Рис. 23

Решение. В положении равновесия силы давления газов  на поршень слева и справа равны. Переместим поршень влево на малую величину x (рис. 24).

Рис. 24

Давление слева увеличивается, а справа уменьшается. Возникает возвращающая сила, под действием которой начнутся колебания поршня. Величину возвращающей силы можно определить выражение . Так как, по условию задачи, процесс является изотермическим, то можно использовать закон Бойля–Мариотта для идеального газа, находящегося в обеих частях цилиндра:

для левой ,

для правой .

Отсюда

.

  Так как x – малая величина, то ею можно пренебречь по сравнению с d2, тогда

.

Так как возвращающая сила, действующая на поршень, направлена в сторону, противоположную смещению поршня, то

.

Мы получили  уравнение, описывающее малые колебания поршня.

Так как  , то период колебаний

.

Задача 2.6 [4, № 11, с. 54; ЕГЭ]. На концах лёгкого стержня длиной 2l, расположены два одинаковых одноимённых электрических заряда q1 = q2 = q. В точке, расположенной посередине стержня, помещают заряженную частицу массой m, несущей такой же по знаку электрический заряд Q. Определите период малых колебаний заряженной частицы. Трением пренебречь.

Решение. В точке, расположенной посередине стержня, силы кулоновского отталкивания, действующие на заряженную частицу массой m, несущей электрический заряд Q, со стороны двух одинаковых одноимённых электрических зарядов q1 и q2, уравновешивают друг друга (рис. 25).

Рис. 25

При смещении электрического заряда Q на малую величину x (рис. 26) относительно положения равновесия вдоль прямой, проходящей через электрические заряды, возникает возвращающая сила, под действием которой начинаются его малые колебания. Решим данную задачу двумя способами: энергетическим – при помощи закона сохранения энергии (трением пренебрегают) и динамическим – при помощи второго закона Ньютона.

Рис. 26

Способ первый. В произвольный момент времени при малых колебаниях электрического заряда Q закон сохранения энергии имеет вид:

6.

Запишем последнее равенство с учётом данных задачи и алгебраических преобразований

.

Находим производную от обеих частей:

.

Величина смещения x мала, и слагаемым х2 можно пренебречь по сравнению с l2. Тогда:

,

откуда получаем уравнение, описывающее малые колебания электрического заряда:

.

Так как , то период малых колебаний составляет

.

Способ второй. Рассмотрим силы, действующие на электрический заряд Q при его малом смещении влево на малую величину x (рис. 27).

Рис. 27

Сила кулоновского отталкивания F1 больше F2, следовательно, возникнет возвращающая сила, под действием которой начнутся малые колебания электрического заряда Q. Величину возвращающей силы определим через разность

и после алгебраических преобразований получим

.

Так как величина смещения x мала, то х2 можно пренебречь по сравнению с l2, и по второму закону Ньютона при малых колебаниях , получаем

,

и  уравнение, описывающее малые колебания электрического заряда , полностью совпадает с уравнением, полученным энергетическим методом.

Задача 2.7 [3, № 3.3, с. 26; 4, № 9, с. 54]. На невесомом стержне прикреплены точечные массы, как показано на рис. 28. Найдите период малых колебаний.

Решение.

За колеблющуюся величину принимаем угол отклонения стержня от вертикали при малых колебаниях. При смещении стержня на малый угол α от вертикали, шарик массой m поднимается на высоту h относительно нулевого уровня (рис. 29).

Из геометрических и тригонометрических соображений:

.

Кинетическую энергию груза запишем в виде:

.

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии

и найдём производные от обеих частей:

.

После преобразований, получим:

.

Перейдём к уравнению

,

Отсюа ясно, что и собственная частота колебаний стержня определяется выражением

,

а период колебаний выражением

.

3. Задачи, сводимые к математическому и пружинному маятникам

Задача  3.1 [2, № 14.8, с. 200; 4, № 4, 5, с. 53]. Математический маятник, движущийся с ускорением. Определите период колебаний математического маятника на нити длиной l, если точка подвеса движется с ускорением  a:  вертикально вверх (рис. 30);  вертикально вниз (рис. 31);  горизонтально (рис. 32).