.
Центр масс делит пружину на две части, причём к колебаниям каждой части применима формула периода колебаний пружинного маятника. Период колебаний каждой части одинаковый, так как центр масс при колебаниях покоится. Можно записать:
.
Так как сила упругости, действующая на пружину, одинакова во всех её точках (пружина невесома), то F1 = F2 = F, где F1 – сила, действующая со стороны первой части пружины на первый груз (пропорциональна удлинению первой пружины и её жесткости), F2 – сила, действующая со стороны второй пружины на второй груз, F – сила, действующая со стороны всей пружины на любой из грузов. При этом удлинения каждой из частей пружины пропорциональны их длинам в недеформированном состоянии:
,
где х1, х2 и х – удлинения левой части, правой части пружины и всей пружины соответственно.
Отсюда получаем:
и
.
Полученную формулу можно проанализировать, если предположить, что массы шаров одинаковые, то период колебаний определяется по формуле 
, что полностью совпадает с выражением, полученным в задаче 3.6. первой части подборки, но энергетическим способом.
Задача 4 [2, № 14.26, с. 204; 3, № 2.10, с. 19]. Тонкое кольцо радиусом R0 совершает осесимметричные колебания. Определите период малых колебаний кольца. Кольцо изготовлено из материала плотностью ρ и с модулем упругости E.
Решение. Малые осесимметричные колебания возникают за счёт действия упругих сил, возникающих при деформации кольца. Пусть радиус кольца в результате деформации увеличился на х. Разобьём тонкое кольцо на элементарные ячейки (рис. 45).
Рис. 45
Для ячейки массой mi используем второй закон Ньютона в проекции на ось Y (рис. 46), знак «–» указывает на то, что возвращающая сила, направлена в сторону противоположную деформации кольца: 
.
Рис. 46
Так как угол α очень мал, то 
, а 
. Из соображений разбиения кольца на элементарные ячейки 
, получаем
.
Так как при колебаниях в результате деформации внутри кольца возникает механическое напряжение, прямо пропорциональное относительному удлинению, то 
, где E – модуль Юнга (модуль упругости), 
– механическое напряжение, S – площадь поперечного сечения кольца, 
– относительное удлинение (отношение абсолютного удлинения к длине образца). Поэтому полученное равенство 
можно записать в виде 
, где R0 – радиус недеформированного кольца. Если длина кольца 
, то его удлинение
и
.
Последнее равенство приводим к уравнению, описывающему осесимметричные колебания кольца:
.
Квадрат собственной частоты определяется выражением
,
а период осесимметричных колебаний
.
Задача 4 [2, № 14.32, с. 205; 3, № 2.8, с. 17]. Тонкое проволочное кольцо радиусом R имеет электрический заряд Q. Как будет двигаться точечный заряд массой m, имеющий заряд –q, если в начальный момент времени он покоился в некоторой точке на оси кольца на расстоянии d n R от центра. Кольцо неподвижно.
Решение. Малые гармонические колебания заряда –q происходят за счёт кулоновского притяжения со стороны равномерно заряженного кольца. Задачу можно решить двумя способами: энергетическим (используя закон сохранения полной энергии) и динамическим (используя второй закон Ньютона). Рассмотрим оба способа.
Первый способ (энергетический). Для произвольного момента времени 
, где 
– кинетическая энергия заряда –q, 
– потенциальная энергия взаимодействия заряда –q с равномерно заряженным кольцом. В школьном курсе физики рассматривается потенциальная энергия взаимодействия двух точечных электрических зарядов как 
. В нашем случае ситуация несколько необычная, так как имеем дело с равномерно распределённым по кольцу электрическим зарядом Q. Для этого разобьём кольцо на элементарные ячейки. Будем считать, что разбиение равномерное, отталкиванием двух соседних ячеек и диаметрально противоположных, будем пренебрегать11. Тогда формулу 
можно применять для точечного заряда –q и заряда 
сосредоточенного в i-ой элементарной ячейке, где r – расстояние между зарядом –q и зарядом 
, которое определяется по теореме Пифагора, через заданные по условию задачи радиус кольца R и расстояния d (рис. 47).
Рис. 47
Получили формулу взаимодействия точечного заряда –q с зарядом 
, сосредоточенным в i-ой элементарной ячейке 
.
Суммируем обе части последнего равенства: 
.
Преобразуя, приходим к равенству
.
На основании полученного равенства и выражения для кинетической энергии заряда –q, закон сохранения энергии принимает вид:
.
Находим производную от обеих частей:
,
Так как d очень мало, то d2 можно пренебречь по сравнению с R2, тогда
,
то есть получили уравнение, описывающее малые гармонические колебания заряда –q вдоль прямой, перпендикулярной плоскости равномерно заряженного кольца и проходящей через его центр.
Так как 
, то период малых колебаний 
.
Второй способ (динамический). Вначале определим силу кулоновского взаимодействия между точечным зарядом –q и равномерно заряженным кольцом. С учётом границ применения закона Кулона, равномерно заряженное кольцо необходимо разбить на элементарные ячейки (рис. 48), причём будем считать, что разбиение равномерное, отталкиванием соседних ячеек и диаметрально расположенных, будем пренебрегать12. Тогда
Рис. 48
Суммируя обе части последнего равенства, получаем:
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
