Подборка задач на механические колебания (стр. 6 )

Задача 3.6. Два шара массой m каждый, соединённые пружиной жёсткостью k, находятся на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 39). Определите период собственных колебаний этой системы.

Рис. 39

Решение

Первый способ. [При отсутствии сил трения нет внешних сил, изменяющих положение системы как целого. В силу симметрии задачи ясно, что середина пружины будет при этом оставаться на месте, а каждый из шаров будет совершать колебания с одной и той же частотой в противофазе, как отдельный горизонтальный пружинный маятник на пружине, являющейся половинкой данной пружины (рис. 40). – М. Б., Д. И.].

Рис. 40

Шары колеблются в противофазе, а это означает, что их скорости в любой момент времени направлены противоположно друг другу, причём к колебаниям каждой части применима формула периода колебаний пружинного маятника. Периоды колебаний каждой части одинаковы. Можно записать:

.

Так как сила упругости пружины одинакова во всех её точках (пружина невесома), то можно приравнять силу упругости, действующую на шарик со стороны половины пружины (левый «маятник» –) и силу упругости целой пружины, растянутой на 2х, с которой она действует на каждый из шаров ():

.

Второй способ. Используя закон сохранения полной механической энергии для малых колебаний в произвольный момент времени, можно записать:

,

где 2x – деформация пружины. Находим производную от обеих частей: 

,

а затем переходим к уравнению, описывающему колебания шариков на пружине:

.

Отсюда    и выражение для периода колебаний:

.

Задача 3.7 [5, № 000, с. 86, 87]. На гладкой горизонтальной поверхности находится пружина жёсткостью k, к которой прикреплён брусок массой  m. В него со скоростью V0, направленной под углом α к горизонту, влетает пуля и застревает в нём (рис. 41). Масса пули m0 n m. Напишите уравнение колебаний бруска. Определите период колебаний груза.

Рис. 41

Решение. Так как колебания бруска с пулей будут гармоническими, то уравнение колебаний можно записать с помощью одной из гармонических функций. Поскольку в начальный момент колебаний (сразу после удара пули) амплитуда равна нулю, то лучше выбрать синус, а не косинус, при этом начальная фаза колебаний будет равна нулю: , где x0 – амплитуда колебаний. Использование закона сохранения проекции импульса для системы тел «пуля-брусок» обусловлено тем, что на брусок в момент удара действует внешняя сила нормальной реакции опоры которая «гасит» вертикальную составляющую импульса. Проекция этой силы на горизонтальную ось X равна нулю, именно в этом направлении сохраняется проекция импульса. Закон сохранения проекции импульса позволит определить скорость совместного движения бруска и пули.

Тогда в проекции на ось X (рис. 42) имеем: 

Дальнейшее применение закона сохранения полной механической энергии позволит определить модуль наибольшей деформации пружины, которая и будет являться амплитудой колебаний:

9

Рис. 42

После взаимодействия пули и маятника система будет представлять собой обычный пружинный маятник с массой груза, равной m+m0. Частота колебаний такого маятника равна .

В общем виде уравнение колебаний бруска с пулей имеет вид:

.

Так как, по условию задачи, предполагается, что массой пули можно пренебречь (m0n m), то уравнение колебаний имеет вид:

,

а период колебаний равен .

Часть 2. Нахождение периода колебаний

сложных колебательных систем

Во второй части подборки приведены решения более сложных задач методами, описанными в первой части. Однако при их решении приходится привлекать дополнительные приёмы и методы, обычно изучаемые в профильных физико-математических классах. Так, первая задача посвящена использованию метода размерности. Этот метод имеет известные ограничения, не позволяющие находить точные формулы для искомых величин, однако его использование может быть полезно при решении качественных задач, а также задач с выбором ответа.

Задача 1. Оценка периода колебаний математического маятника методом размерностей. Будем считать, что период колебаний математического маятника зависит от массы груза m, длины нити l, ускорения свободного падения g. Так как период колебаний связан с круговой частотой выражением , то необходимо установить зависимость круговой частоты от массы груза, длины нити и ускорения свободного падения. Для этого воспользуемся методом размерности физических величин.

Полагаем, что  . Переходим к размерности физических величин .

Преобразуем: , .  Получаем систему уравнений:

0 = a,

0 = b+d,

–1 = –2d.

Решением полученной системы уравнений являются выражения a = 0, d = , b =-. Найденные значения показателей подставляем в выражение для круговой частоты , получаем . То есть мы получили выражение для периода колебаний методом размерностей с точностью до безразмерного коэффициента: .

Задача 2 [Всероссийская олимпиада школьников по физике. Районно-городской этап, 2005 г.]. Один конец пружины прикреплён к упору, а другой – к грузу массой m1= 1 кг. Груз колеблется без трения вдоль горизонтальной оси X с амплитудой A1 = 1 см. Во сколько раз нужно изменить массу груза, чтобы при колебаниях с амплитудой  A2 = 2 см  максимальное (амплитудное) значение мощности, развиваемое пружиной, осталось таким же, как и в первом случае? Определите значение этой массы m2.

Решение. «Необычной» величиной, по данным задачи, является максимальное (амплитудное) значение мощности, развиваемое пружиной, следовательно, необходимо получить её алгебраическое выражение в общем виде. Мгновенная мощность определяется выражением . Если , то скорость , а ускорение . С точностью до знака получаем: 

Максимальное (амплитудное) значение мощности . Так как при изменении массы груза максимальное (амплитудное) значение мощности, развиваемое пружиной, осталось таким же, как и в первом случае, то . В результате преобразований, получаем:

.

Задача 3 [2, № 14.27, с. 204]. Два шара массами m1 и m2 соединены между собой пружиной жёсткостью k (рис. 43). Каков период колебаний этой системы на гладкой горизонтальной поверхности после деформации пружины? Массой пружины пренебречь.

Рис. 43

Решение. Рассмотрим колебания шаров относительно центра масс, который остаётся неподвижным10. Координату центра масс колебательной системы можно представить в виде (рис. 44):

Рис. 44