Подборка задач на механические колебания (стр. 5 )

Решение. Используем выражение для периода колебаний математического маятника, если точка подвеса движется поступательно с ускорением a: , где , Fн – сила натяжения нити в отсутствие колебаний7. Ниже краткие решения представлены в лабораторной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Рис. 30 OY:

Рис. 31 OY:

Рис. 32 OY: OX:

Задача 3.2.

Определите период колебаний математического маятника в идеальной жидкости (несжимаемой и без трения) плотностью ρ, если длина нити l, масса подвешенного к нити шарика m0, плотность материала шарика ρ0.

Решение

Первый способ. Используем выражение для периода колебаний математического маятника , где , Fн – сила натяжения нити в отсутствии колебаний,  – эффективное ускорение маятника (рис. 33).

Рис. 33

OY: , , .

Отметим, что при совпадении плотности материала шарика и плотности окружающей его жидкости колебания не возникнут, так как Т → ∞.

       

Второй способ8. Рассмотрим динамический способ получения дифференциального уравнения колебаний. Прежде чем записать уравнение движения математического маятника в проекции на касательную AE (см. рис. 9), необходимо учесть, что кроме силы тяжести на шарик действует сила Архимеда, направленная вертикально вверх. Тогда (проекция силы упругости на касательную AE равна нулю) получаем:

.

Поскольку , то . Получаем уравнение, описывающее колебания математического маятника в жидкости с учётом условия задачи:

.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (11), находим и отсюда период колебаний:

.

Задача  3.3 [6, № 30.24, с. 383]. Математический маятник в виде железного шарика массой 40 г подвешен на нити длиной 1 м и совершает гармонические колебания. Если снизу под шариком поместить магнит, создающий однородное магнитное поле, то он будет притягивать шарик с постоянной силой 0,24 Н. Определите период колебаний шарика в новом состоянии.

Решение

Первый способ. Используем выражение для периода колебаний математического маятника , где , Fн – сила натяжения нити в отсутствие колебаний (рис. 34).

Рис. 34

OY: , Т=1,6 с.

Второй способ (обоснование первого)

Уравнение движения математического маятника в проекции на касательную AE (рис. 35)  имеет вид (проекция силы упругости на касательную равна нулю):

.

Так как (из треугольника АВО), то  .  После преобразований уравнение, описывающее колебания математического маятника в однородном магнитном поле полосового магнита, принимает вид:

.

Так как , то период колебаний .

Задача 3.4 [2, № 14.11, с. 201; 6, № 30.23, с. 383]. Небольшое тело совершает малые колебания в вертикальной плоскости, двигаясь без трения по внутренней поверхности сферической чаши радиусом R, в трёх случаях: чаша покоится;  чаша движется вниз (вверх) с ускорением 0,5g. Определите период колебаний тела в каждом случае.

Решение. Выполним рисунок (рис. 36). Используя метод «аналогии», видим, что задача решается так же, как и в случае математического маятника. Только вместо силы натяжения следует рассматривать силу реакции опоры (либо силу давления), а роль длины нити играет радиус сферической чаши.

Рис. 36

Если чаша покоится, то .

Если чаша опускается вниз с ускорением 0,5g, то период колебаний

.

Если чаша поднимается вверх с ускорением 0,5g, то период колебаний

.

Задача 3.5 [2, № 14.10, с. 201; 6, № 30.25]. Определите период колебаний математического маятника массой m, с длиной нити l, если его зарядить зарядом q > 0 и поместить в однородное электрическое поле, вектор напряжённости которого направлен вертикально: а) вверх (рис. 37); б) вниз (рис. 38).

Решение

Первый способ. Используем выражение для периода колебаний математического маятника , где , Fн – сила натяжения нити в отсутствие колебаний.

Рис. 37 . OY:  . . , для . Если , то Т → ∞, то есть колебания не возникнут.

Рис. 38 . OY:  . . .

Второй способ: аналогичен задачам  3.2 и  3.3.