Подборка задач на механические колебания (стр. 3 )

       

1. Задачи на знание основных понятий

Задача 1.1 [ЕГЭ]. Тело, подвешенное на пружине, совершает свободные гармонические колебания с частотой ω. С какой частотой происходит изменение кинетической энергии тела?

Решение. Ответ уже содержится в замечании к п. 8.2.

Задача 1.2 [Всероссийская олимпиада школьников по физике. Районно-городской этап, 2004 г.]. Небольшой груз, закреплённый на конце лёгкой нерастяжимой нити, называется математическим маятником. Грузу в положении равновесия сообщили скорость , в результате чего маятник стал совершать малые колебания. Оцените путь, пройденный грузом за время .

Решение. Можно предположить, что время больше периода колебаний (чтобы математический маятник имел период, например 20 с, длина подвеса должна быть около 100 м), следовательно, путь пройденный грузом можно приблизительно рассчитать, приняв во внимание, что за ј периода маятник проходит путь, равный амплитуде, и хотя колебательное движение не является равномерным, путь оценивается выражением , где N = t/T.

Тогда . Циклическую частоту при колебаниях можно связать с максимальной скоростью и амплитудой колебаний , тогда

2. Задачи, решаемые путём получения дифференциального уравнения колебаний

динамическим или энергетическим методом

Задача  2.1 [6, № 30.11, с. 382]. Брусок положили на пружину жёсткостью 2k, а затем притянули к потолку двумя одинаковыми пружинами жёсткостью k каждая (рис. 12). Масса бруска равна m. Определите период колебаний бруска.

Рис. 12

Решение3. На начальном этапе формирования навыков нахождения периода колебаний целесообразно рассмотреть с учащимися два способа решения данной задачи.

Первый способ. Возможен вариант решения задачи с использованием второго закона Ньютона. Для этого выполним рисунок, на котором укажем силы, действующие на брусок, если колебания отсутствуют. Необходимо учесть деформацию каждой пружины x0 (рис. 13) в равновесном состоянии (при выполнении условия сноски 3 удлинения верхних и нижней пружин одинаковы).

Рис. 13

Так как груз покоится, то , , . Чтобы возникли колебания, груз будем смещать вниз на величину x (рис. 14).

Рис. 14

Тогда второй закон Ньютона, с учётом выбранного направления оси X, будет иметь вид

.

После преобразований, учитывая, что , получаем . Далее переходим к уравнению, описывающее колебания груза: . Откуда , а период равен .

Второй способ. Закон сохранения полной механической энергии для случая, изображённого на рис. 14, с учётом выбора нулевого уровня  имеет вид:

,

причём . После дифференцирования обеих частей выражения и алгебраических преобразований приходим к аналогичному уравнению, описывающему колебания груза, полученному на основе второго закона Ньютона.

Задача 2.2 [6, № 30.10, с. 381]. На гладкой горизонтальной плоскости лежит груз массой m, прикреплённый горизонтальными пружинами к стенам (рис. 15). Жёсткость одной пружины k, а другой пружины 2k. Если груз несколько сместить вправо или влево, он начнёт колебаться. Найти период колебаний груза.

Рис. 15

Решение4

Первый способ. Воспользуемся энергетическим способом решения задачи, а именно применим закон сохранения полной механической энергии для произвольного момента времени, когда груз смещён относительно положения равновесия по горизонтали на х: (удлинения пружин при смещении груза на величину х одинаковы и равны х). Найдём производную от обеих частей:

Разделим обе части равенства на m (массу груза) и получим уравнение, описывающее гармонические колебания груза в системе, представленной по условию задачи, квадрат циклической частоты и период колебаний:

.

Второй  способ. Задачу можно решить, используя второй закон Ньютона применительно к гармоническим колебаниям: , знак «–» указывает на то, что возвращающая сила всегда направлена в сторону, противоположную смещению груза относительно положения равновесия. Важно отметить тот факт, что колебания груза происходят за счёт возникновения двух сил упругости. Сила трения отсутствует, это предполагается условием задачи, а проекции силы тяжести и силы реакции опоры на ось X равны нулю (рис. 16). В связи с вышеуказанными рассуждениями, второй закон Ньютона для произвольного смещения х можно записать в виде:

и период колебаний .

Рис. 16

Задача 2.3 [ЕГЭ]. Ареометр, погружённый в жидкость, совершает вертикальные гармонические колебания с малой амплитудой (рис. 17). Масса ареометра 40 г, радиус его трубки 2 мм, плотность жидкости 0,8 г/см3. Каков период этих колебаний? Сопротивлением жидкости пренебречь.

  Рис. 17

Решение. В положении равновесия , где h – высота той части ареометра, которая погружена в жидкости (рис. 185).

Рис. 18

Чтобы возникли колебания ареометра, увеличим глубину погружения на величину x (рис. 19).

Рис. 19

Тогда увеличение силы Архимеда, действующей на ареометр, приводит к возникновению его колебаний в жидкости. Возвращающая сила при этом имеет направление, противоположное  выбранной оси X, и второй закон Ньютона имеет вид:

.

С учётом положения равновесия после преобразований получаем  уравнение, описывающее малые колебания ареометра в жидкости:

.

Так как , то период колебаний ареометра

.

После подстановки числовых значений, получаем  T = 3,96 с.

Задача 2.4 [ЕГЭ]. Однородный цилиндр с площадью поперечного сечения 10–2 м2 плавает на границе несмешивающихся жидкостей  плотностью 800 кг/м3 и 1000 кг/м3 (рис. 20). Пренебрегая сопротивлением жидкостей, определите массу цилиндра, если период его малых вертикальных колебаний c.

Рис. 20