Подборка задач на механические колебания (стр. 8 )

Так как кулоновская сила притяжения между зарядом –q и кольцом, несущим заряд Q, направлена в сторону, противоположную смещению заряда –q относительно центра кольца, то второй закон Ньютона запишется в виде:

,

и тогда

.

После преобразований приходим к уравнению, описывающему малые гармонические колебания заряда –q вдоль прямой, перпендикулярной плоскости равномерно заряженного кольца и проходящей через его центр:

,

при условии, что d – очень мало (малые колебания). Тогда слагаемым d2 можно пренебречь по сравнению с R2. Мы получили уравнение, полностью совпадающее с уравнением, полученным энергетическим способом.

Задача 5 [2, № 14.18, с. 202; 3, № 3.5, с.26; 6, № 30.31, с. 384]. Груз массой m прикреплён к середине струны длиной l (рис. 49), натянутой с силой Fн. Определите период малых колебаний груза около положения равновесия. Массой струны пренебречь.

Рис. 49

Решение. Результирующая двух сил натяжения, возникающих в струне при смещении груза относительно положения равновесия на величину x, является возвращающей силой (рис. 50), под действием которой возникают малые колебания. Второй закон Ньютона в скалярном виде при малых колебаниях  имеет вид.

Рис. 50

Так как α очень мал ввиду малого смещения груза относительно положения равновесия, то и .

Из рисунка 51 видно, что ,  поэтому

.

Рис. 51

Полезно ознакомиться с решением данной задачи, представленной в статье «Механические колебания» («Физика-ПС»,  2012,  № 1, с. 13). Решение задачи рассматривается с применением понятий: квазиупругая сила (сила, величина которой пропорциональна смещению в первой степени: );  коэффициент квазиупругой силы (k); период колебаний, происходящих под действием квазиупругих сил (, m – масса колеблющегося тела).

Задача 6 [3, № 3.6, с. 27]. Жидкость налита в изогнутую трубку, колена которой составляют с горизонтом углы α и β (рис. 52). Длина столбика жидкости l. Найдите период малых колебаний жидкости.

Рис. 52

Будем следить за изменением уровня жидкости в левом колене, обозначив отклонение от положения равновесия вдоль колена через х. При таком смещении из положения равновесия в правом колене уровень жидкости сместится вдоль колена также на х (рис. 53).

Рис. 53

Пусть масса единицы длины жидкости в трубке ρ, тогда масса всей жидкости ρl. С учётом массы всей жидкости её кинетическая энергия равна . Выразим потенциальную энергию жидкости через координату x. Если в левом колене уровень жидкости сместился вдоль трубки на x1, то по вертикали он опустился на . В правом колене уровень жидкости поднялся на . Поскольку жидкость несжимаема, то х1 = х2 = х.

Запишем выражение для полной механической энергии жидкости в этот момент, полагая, что отсчёт потенциальной энергии жидкости в поле тяже­сти идёт от положения равно­весия. Потенциальная энергия жидкости при отклонении от положения равновесия равна изменению потенциальной энергии столбика жидкости при его подъёме на высоту x.

Чтобы вычислить потенциальную энергию, заметим, что состояние, изображённое на рис. 53, отличается от равновесного (см. рис. 52), достигаепмого перемещением массы жидкости из левого колена в правое. Изменение потенциальной энергии массы Дm равно произведению Дmg на изменение высоты центра тяжести этой массы :

.

Так как трение жидкости о внутренние стенки сосудов отсутствует, то полная энергия при колебаниях сохраняется:

.

Далее находим производную от обеих частей последнего равенства,

.

После преобразований получаем уравнение гармонических колебаний

,

где и следовательно период малых колебаний жидкости

.

Полученную формулу подробно проанализируем:

если α = β, тогда , что соответствует условию задачи:  «Тонкая изогнутая трубка постоянного сечения расположена в вертикальной плоскости (рис. 54). Каждое колено трубки наклонено к горизонту под углом α. Длина части трубки, занятой жидкостью, равна l. Найдите период колебаний жидкости в трубке. При колебаниях опускающаяся поверхность жидкости не достигает изогнутого участка трубки. Трением между слоями жидкости и жидкости о трубку не учитывать»;

Рис. 54

если β =90°, тогда , что соответствует условию задачи: «Жидкость объёмом V налита в изогнутую трубку с площадью поперечного сечения канала S. Одно колено трубки вертикально, а другое составляет угол α с горизонтом. Пренебрегая вязкостью, найдите период малых колебаний жидкости в трубке»; если α =β =90°, переходим к стандартному виду сообщающихся сосудов и к традиционной задаче на нахождение периода колебаний жидкости в сообщающихся сосудах постоянного сечения, , что соответствует условию задачиб [2,  № 14.22, с. 203; 3, № 2.2, с.11; 6, № 30.28, с. 384]: «В сообщающихся сосудах (рис. 55) цилиндрической формы налита ртуть. Найдите период малых колебаний ртути, если площадь поперечного сечения каждого сосуда 0,3 см2, масса ртути 484 г, плотность ртути 13 600 кг/м3. Трением ртути внутри сообщающихся сосудов пренебречь.». Ответ: .

Рис. 55

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1 [2, № 14.33, с. 206; 3, № 2.14, с. 25].  Проводник массой m и длиной l подвешен к диэлектрику с помощью двух одинаковых проводящих пружин с общей жёсткостью k (рис. 56). Однородное магнитное поле с индукцией направлено перпендикулярно плоскости чертежа. К верхним концам пружин присоединён конденсатор ёмкостью C. Пренебрегая сопротивлением, собственной индуктивностью и ёмкостью проводников, определите период колебаний системы в вертикальной плоскости.

Рис. 56

Указания к решению:

найдите деформацию пружин x0 в положении равновесия, когда колебания отсутствуют (); чтобы возникли колебания, необходима дополнительная деформация пружин (например, вниз) на величину x (тогда потенциальная энергия упругой деформации пружин ); выразите кинетическую энергию проводника через координату x (); потенциальную энергию проводника представьте через координату x относительно нулевого уровня, связав его с первоначальной деформацией пружин (); так как проводник при колебаниях движется в магнитном поле, то из-за возникновения на его концах ЭДС индукции, конденсатор начинает заряжаться, и между его обкладками возникает электрическое поле,  обладающее энергией, величину которой можно выразить через  координату x: ; получите уравнение колебаний представленной системы, воспользовавшись законом сохранения энергии: ;

Ответ: .