Подборка задач на механические колебания (стр. 1 )

*****@***ru,

МОУ лицей № 23,  г. Воскресенск, Московская обл.

Подборка задач на  механические колебания

Часть 1. Основные методы решения

Задачи на нахождение периода колебаний являются одними из самых сложных в школьном курсе физики. Связано это с тем, что решение подобных задач сводится к получению однородного дифференциального уравнения второго порядка (представления о котором студенты получают не раньше 2–3 семестра учёбы в вузе), описывающее процессы в представленной в задаче колебательной системе. Кроме того, времени на разбор таких задач, отработку навыков решения и оценку полученных знаний, умений и навыков учащихся  учителю, как правило, всегда не хватает. К тому же в материалах единого государственного экзамена по физике в 2006 и в 2010 годах появлялись задачи высокого уровня сложности по  представленной  тематике.

Данная подборка задач адресована не только учителям, но и (в первую очередь) выпускникам общеобразовательных учреждений, выбравших ЕГЭ по физике. Представлен теоретический материал, необходимый для решения задач высокого уровня сложности на нахождение периода колебаний различных колебательных систем, а также задачи базового, повышенного, высокого и олимпиадного уровней сложности с подробными решениями. Некоторые задачи решаются двумя способами (энергетическим и динамическим). Большинство задач являются комбинированными, т. к. охватывают все разделы школьного курса физики. В квадратных скобках указан номер пособия из перечня используемой литературы.

________

Текст к печати подготовлен (*****@***ru, ИХФ РАН, редакция журнала «Физика-Первое сентября») и к. ф.-м. н. (*****@***ru, МОУ Лицей города Троицка, Московская обл.).

Типизация задач на определение периода (частоты) собственных колебаний

Основные представления о колебательном движении

Виды колебаний: По физической природе: механические, электромагнитные и другие. По характеру возникновения и существования: свободные, вынужденные, параметрические, автоколебания. По характеру зависимости колеблющейся величины от времени: гармонические, негармонические.

Далее будут рассмотрены, прежде всего, гармонические колебания, т. е. колебания, возникающие под воздействием периодически изменяющейся возвращающей силы, прямо пропорциональной смещению из положения равновесия.

Период колебаний – время одного полного колебания . Здесь t – время, за которое совершается N колебаний. Частота колебаний –  число колебаний за единицу времени . Круговая, или циклическая, частота колебаний – число колебаний за 2π секунд . Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения колеблющегося тела из положения равновесия . Гармонические колебания: происходят под действием возвращающей силы, значение которой прямо пропорционально смещению из положения равновесия с обратным знаком. При этом координата колеблющейся материальной точки, отсчитываемая от положения равновесия, происходят по закону sin или cos. Кинематика гармонических колебаний (координата, скорость, ускорение – аналитические выражения, графическое представление): Координата (рис. 1):

.  (1)

Рис. 1

[Общая форма записи уравнения гармонических колебаний:

,  (2)

где аргумент функции sin (выражение, стоящее в скобках) называют фазой колебаний, а, соответственно, ц0 – начальной фазой (фазой в момент времени t = 0). Поскольку функция cos  отличается от функции sin смещением аргумента на р/2, то уравнение колебаний может быть записано в другом виде: с другой начальной фазой, Наличие начальной фазы играет роль только в задачах, где описываются конкретные начальные условия (например, задано начальное отклонение от положения равновесия или начальная скорость), то без ущерба для дальнейшего теоретического рассмотрения вопроса о гармонических колебаниях начальную фазу в уравнении колебаний можно опустить). – Д. И., М. Б.]

7.2. Проекция скорости на ось Х равна производной координаты х по времени (рис. 2):

,  (3)

где – амплитудное значение проекции скорости.        (4)

  Рис. 2

7.3. Проекция ускорения на ось Х равна производной проекции скорости по времени (рис. 3):

,  (5)

где   (6)

амплитудное значение проекции ускорения.        

  Рис. 3

Совместное графическое представление представленных выше кинематических величин, описывающих гармонические колебания тела, дано на рис. 4 (графики, скорости и ускорения смещены относительно графика координаты на четверть и половину периода соответственно, амплитуды на рис. 4 не являются равными в силу разной размерности величин и соответственно разного масштаба по вертикальной оси. – Д. И.).
Энергия гармонических колебаний (кинетическая энергия, потенциальная энергия упруго деформируемой пружины – аналитические выражения, графическое представление): Кинетическая энергия. Если координата колеблющегося тела изменяется по гармоническому закону , то, подставив скорость из формулы (3), получим закон изменения кинетической энергии  со временем:

1.  (7)

То есть кинетическая энергия материальной точки изменяется периодически с циклической частотой и  амплитудой (рис. 5).

Рис. 5

Закон для изменения потенциальной энергии упруго деформируемой пружины:

.          (8)

То есть  потенциальная энергия упруго деформируемой пружины изменяется периодически с циклической частотой и  амплитудой (рис. 6).

Рис. 6

[Проанализируем получившиеся выражения. Значение кинетической энергии изменяется по гармоническому закону, но не относительно «0», а относительно некоторой постоянной величины, равной половине максимального значения. Как следует из (7), . При этом минимальное значение энергии получается равным нулю (при ), а максимально равно (при ). Этот факт легко понять, ведь кинетическая энергия не может принимать отрицательных значений.

Ещё один важный, также легко объяснимый факт. Если проекция скорости совершает колебания с периодом Т, то за время одного колебания скорость два раза принимает амплитудные значения: один раз со знаком «+» и один раз со знаком «–». Но кинетическая энергия в обоих случаях принимает максимальное значение, то есть периодически изменяется  в два раза чаще, что и показывает удвоенная частота в выражении для кинетической энергии. Для ответа на вопросы части А ЕГЭ достаточно понять и запомнить оба этих факта (положительность величины и удвоенная частота или вдвое меньший период). Всё вышесказанное относится и к колебаниям значений потенциальной энергии. – Д. И., М. Б.]

8.3. Графическое представление энергетических величин, описывающих гармонические колебания тела, дано на рис. 7.  (Зн(Значения кинетической и потенциальной энергий совершают колебания с одной амплитудой, но со смещением на полпериода друг относительно друга. При этом сумма энергий остаётся постоянной, в этом можно убедиться, сложив значения для кинетической и потенциальной энергий и подставив значение циклической частоты пружинного маятника. Значения координаты на графике отложены в другом масштабе. – Д. И.).

Закон сохранения полной механической энергии. В замкнутой системе тел, взаимодействующих между собой с силами упругости и тяготения, полная механическая энергия системы, равная сумме кинетических и потенциальных энергий всех входящих в неё тел, остаётся неизменной:

.  (9)