Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» (стр. 3 )

Задание № 4.

Решите следующие задачи.

1.	_____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________
2.	_____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________
3.	_____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________
4.	_________________________ _________________________ _________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ ___________________________ ___________________________ __________________________ ___________________________ ___________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

Тема 20. Определение и признак перпендикулярности прямых в пространстве, прямой и плоскости.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!        

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90o.

рис. 1

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость   перпендикулярна к прямой а.

рис. 2

Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая  а пересекает плоскость .

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

рис. 3

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

рис. 4

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Замечания.

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Задание № 5.

Решите следующие задачи.

Для всех заданий точка М лежит вне плоскости АВС.

1.	______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________
2.	______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________
3.	______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________
4.	______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________
5.	______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 21. Определение расстояния от точки до плоскости. Наклонная и её проекция на плоскость.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Рассмотрим плоскость и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости , и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью . Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости , а точка Н – основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок АМ. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости , а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость . Сравним перпендикуляр АН и наклонную АМ: в прямоугольном треугольнике АМН сторона АН – катет, а сторона АМ – гипотенуза, поэтому АН < АМ. Итак, перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

  А

Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости , называется расстоянием от точки А до плоскости .

ЗАМЕЧАНИЯ

1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости, равноудалены от другой плоскости.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.