Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» (стр. 6 )

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников-граней.

В выпуклом многоугольнике сумма всех плоских углов при каждой из его вершине меньше 360⁰.

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.

Грани призмы, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Поэтому в основаниях лежат равные многоугольники.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы равна расстоянию H между плоскостями оснований.

Сечение призмы плоскостью, проведенной через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называется диагональным сечением призмы. На чертеже показана четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. Параллелограмм BDD1B1 – диагональное сечение призмы. По числу сторон основания призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д.

Прямой призмой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. ( Почему?)

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

Задание № 10.

Решите задачи.

Задача 1. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 2. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64√2 см2. Найдите ребро куба и его диагональ.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка ______________ подпись преподавателя _______________________

Тема 26. Призма, площадь ее поверхности. Параллелепипед, его виды и площадь поверхности.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Теорема 1.

Каждый параллелепипед имеет центр симметрии.

Следствие 1.

Противоположные грани любого параллелепипеда равны и параллельны.

Прямоугольным называется параллелепипед, все грани которого прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами называется кубом.

Три ребра, выходящие из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями (длиной, шириной, высотой).

Теорема 2.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равняется сумме квадратов его измерений: d2 = a2 + b2 +c2.

Легко заметить, что все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Задание № 11.

Ответьте на вопросы:

Кратко опишите все, что Вы видите на рисунке. (Пример: d – диагональ параллелепипеда).

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 27. Свойства параллелепипеда. Основные принципы построения сечений.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

Свойство прямоугольного параллелепипеда.

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

Полуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.

2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.

3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом. Все грани куба – равные друг другу квадраты.

Основные принципы построения сечений.

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение.

В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Поскольку плоскость определяется:

тремя точками; прямой и точкой; двумя параллельными прямыми; двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

Метод следов. Метод вспомогательных сечений. Комбинированный метод.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости; построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой; построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым; построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости; построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на следующие вопросы:

Рис. 2

- какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно число сторон многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

Запомните.  Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

Правила построения сечений многогранников: