Математический анализ Краткий курс лекций (стр. 2 )

.

Функция нечетная, строго возрастает (рис. 1.2).

.

Функция четная, строго возрастает на и строго убывает на(рис. 1.3).

.

Функция нечетная, строго убывает на и(рис. 1.4).

.

При некоторых имогут быть шире.

Экспонента (рис. 1.5).

.

Функция строго возрастает.

Показательная функция (рис. 1.6).

;

.

При функция строго убывает, при строго возрастает.

Логарифмическая функция.

Логарифм натуральный (рис. 1.7).

.

Функция строго возрастает.

Логарифм с основанием (рис. 1.8).

,

.

При функция строго убывает, при строго возрастает.

Тригонометрические функции.

(рис. 1.9):

.

Функция нечетная. Период . На каждом из промежутков , , функция строго возрастает, на, , строго убывает.

(рис. 1.9):

.

Функция четная. Период . На каждом из промежутков , , строго убывает, на , , строго возрастает.

(рис. 1.10):

.

Функция нечетная. Период . Функция строго возрастает на каждом из промежутков , .

(рис. 1.11):

.

Функция нечетная. Период . Функция строго убывает на каждом из промежутков , .

Обратные тригонометрические функции.

(рис. 1.12):

.

Функция нечетная, строго возрастает.

(рис. 1.13):

.

Функция строго убывает.

(рис. 1.14):

. Функция нечетная, строго возрастает

(рис. 1.15):

. Функция строго убывает.

Сложная функция.

Пусть переменная у является функцией аргумента u(y=f(u)), а u в свою очередь является функцией аргумента х (u=ц(х)), все значения которой содержатся в области определения функции f(u). Тогда у=f[ц(х)] называется сложной функцией или функцией от функции.

Например: y = sin x2 , y = ln

Сложная функция является элементарной функцией, если она задается формулой, составленной из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических и трансцендентных операций.

Обратная функция.

У. Решим обратную задачу. Пусть функция y=f(x) монотонна. Возьмём теперь какое-то значение у∈ Х ставит в соответствие у∈Рассмотрим некоторую функцию у = f(х), которая по закону f каждому х0У. Тогда найдется в области Х такое значение х∈0при котором функция станет равной у0=f(x0). Для того чтобы по известному значению у отыскать х нам потребуется закон g, в соответствии с которым, мы получим новую функцию х =g(у). Эта функция называется обратной для функции f(х).

Если перейти к привычному обозначению зависимой и независимой переменных, то есть у = g(х), то графически это выразится перестановкой одной оси координат на место другой. Для осуществления этой операции необходимо повернуть плоскость хоу на 1800вокруг биссектрисы первого координатного угла. Таким образом, график функции у =g(х) получится как зеркальное отображение графика функции у =f(х) относительно биссектрисы первого координатного угла.

Например, функции у =ахи у =logax взаимно-обратные функции. Графики этих функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла.

Четные и нечётные функции.

Область определения функции называется симметричной, если для любого х из области определения функции существует ( - х ) тоже принадлежащий этой области.

Функция у = f(х) называется четной, если она имеет симметричную область определения и для всех х из этой области выполняется равенство

f(-х) = f(х)

Функция у = f(х) называется нечетной, если она имеет симметричную область определения и для всех х из этой области выполняется равенство

f(-х) = - f(х)

Графики четных функции симметричны относительно оси ординат, графики нечетных функций симметричны относительно начала координат.

Например: функции у = х2, y = x4 - четные ( рис 1.1 ), а функции у = х3, у = х - нечетные ( рис 1.2 ).

Периодические функции.

Функция у = f(х) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что вместе с любым х из области определения функции точки (х + кТ) тоже принадлежат этой области и при этом выполняется неравенство

f(х) = f(х + кТ ). Число Т называется периодом функции.

Например у = sin x периодическая функция с периодом Т = 2р. (рис 1.9 ).

Ограниченные функции.

Функция у = f(х) называется ограниченной сверх ув некоторой области значений аргумента, если существует такое число М, что для всех х из этой области f(х) ≤ М.