Математический анализ Краткий курс лекций (стр. 5 )

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Проведём доказательство для двух слагаемых, так как для любого конечного числа слагаемых оно приводится аналогично.

Пусть ибесконечно малые прифункции и– сумма этих функций. Докажем, что для, существует такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство.

Так как функция бесконечно малая функция, , а следовательно существует такое, что для всехвыполняется неравенство.

Так как функция бесконечно малая функция, , а следовательно существует такое, что для всехвыполняется неравенство.

Возьмём равным меньшему из чисели, тогда в–окрестности точкиа будут выполняться неравенства ,.

Составим модуль функции и оценим его значение.

. то есть , тогда функция бесконечно малая, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции прина ограниченную функциюесть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Так как функция ограниченная, то существует такое положительное число, что для всехвыполняется неравенство.

Так как функция бесконечно малая при, то существует такая–окрестность точки, что для всехих этой окрестности выполняется неравенство.

Рассмотрим функцию и оценим её модуль

Итак , а тогда– бесконечно малая.

Теорема доказана.

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

.

Доказательство:

Для доказательства достаточно рассмотреть две функции, это не нарушит общности рассуждений.

Пусть ,.

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой, функции иможно представить в виде где и– бесконечно малые при.

Найдём сумму функций и

Величина есть постоянная величина,– величина бесконечно малая. Таким образом, функцияпредставлена в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой функции.

Тогда число является пределом функции, т. е.

.

Теорема доказана.

Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций

.

Доказательство:

Не нарушая общности рассуждений, проведём доказательство для двух функций и.

Пусть , тогда,

Найдём произведение функций и

Величина есть постоянная величина,бесконечно малая функция. Следовательно, числоявляется пределом функции, то есть справедливо равенство

.

Следствие: .

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля

.

Доказательство: Пусть ,

Тогда ,.

Найдём частное и проделаем над ним некоторые тождественные преобразования

Величина постоянная, дробьбесконечно малая. Следовательно, функцияпредставлена в виде суммы постоянного числа и бесконечно малой функции.