Математический анализ Краткий курс лекций (стр. 4 )

Составим модуль разности между n членом последовательности суммы и числом (а+b) и воспользуемся для него свойствами модуля и указанными выше неравенствами.

Будем иметь

│(xn-yn ) – (a+b)│= │(xn–a) + (yn–b)│<│xn-a│+│yn - b│<+=е

Тогда по определению предела последовательности, утверждение о пределе суммы последовательностей верно.

Аналогично доказываются остальные утверждения.

Предел функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а за исключением может быть лишь самой точки а. Рассмотрим поведение функции при стремлении аргумента х к значению а.

Определение 1. Число А называется пределом функции при стремлении х к а, если для любой последовательности значений аргументов из области определения функции стремящейся ка, соответствующая последовательность значений функции стремится кА.

Обозначают это так:

Если последовательность значений функции стремится килипри стремлениик значению а, то говорят, что предел функции равен или.

Обозначают это так:

или

Предел функции при стремленииможно определить по-другому.

Определение 2. Число А называется пределом функции в точке а, если для , существуеттакое, что для всех, удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство.

Легко доказать, что оба определения предела функции эквивалентны.

Графически определение предела можно представить так:

Как только значения аргумента х попадают в –окрестность точки А, соответствующие значения у попадают в –окрестность точки А, при этом для существования предела функции при :

необязательно, чтобы функция была определена в точке а; –окрестность точки а должна удовлетворять условиям симметричности, а –окрестность точки А при заданной не обязательно должна удовлетворять этому требованию.

Определение 3. Число А есть предел функции приесли длясуществует некоторое число М такое что неравенство выполняется для всех удовлетворяющих неравенству

Бесконечно малые величины. Теоремы о бесконечно малых.

Функция называется бесконечно малой при или при , еслиили.

Например: функция бесконечно малая при; функциябесконечно малая при.

Замечание 1. Никакую функцию без указания направления изменения аргумента бесконечно малой назвать нельзя. Так, функция приявляется бесконечно малой, а приона уже не является бесконечно малой ().

Замечание 2. Из определения предела функции в точке, для бесконечно малых функций выполняется неравенство .Этим фактом мы в дальнейшем будем неоднократно пользоваться.

Установим некоторые важные свойства бесконечно малых функций.

Теорема ( о связи функции, её предела и бесконечно малой): Если функция может быть представлена в виде суммы постоянного числа А и бесконечно малой функции при, то число

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что функция .

Выразим отсюда :. Поскольку функциябесконечно малая, для неё справедливо неравенство, тогда для выражения () также выполняется неравенство

А это значит, что .

Теорема (обратная): если , то функцияможет быть представлена в виде суммы числа А и бесконечно малой при функции, т. е..

Доказательство:

Так как , то длявыполняется неравенство(*) Рассмотрим функциюкак единую и неравенство (*) перепишем в виде

Из последнего неравенства следует, что величина () является бесконечно малой при. Обозначим её.

Откуда . Теорема доказана.