Математический анализ Краткий курс лекций (стр. 3 )

Функция у = f(х) называется ограниченной снизу в некоторой области, если существует такое число N, что для всех х из этой областиf(х) ≥N.

Функция называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху.

Например: функция у = ограничена снизу числом 0 (рис. 1.3 )

функция у = 2 –х2ограничена сверху числом 2

функция у = sinx ограниченная │sinx│≤ 1 (рис. 1.9 ).

Монотонные функции. Экстремум функции.

Функция у = f(х) называется возрастающей на промежутке (а, b), если для любых х1и х2из этого промежутка из неравенства х2> х1 следует неравенство f(х2) >f(х1), то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция у = f(х) называет с убывающей на промежутке (а, b), если для любых х1и х2из этого промежутка из неравенства х2> х1следует неравенство f(х2) <f(х1), то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Например: Функция у = х3 возрастает на всей области определения

Функция у = х2возрастает на интервале ( 0, +∞ ) и убывает на интервале

( - ∞, 0 ).

Точка х0называетсяточкой максимум афункции у =f(х), если существует такая двусторонняя окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенств оf(х0) >f(х)

Точка х0называетсяточкой минимума функции у =f(х), если существует такая двусторонняя окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(х0) <f(х).

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции, а значение функции в точке минимума называется минимумом функции. Обозначается соответственно ymax,, уmin.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Понятия функциональной зависимости широко используются в экономических моделях (задачах). Посредством элементарных функций и их графиков моделируются взаимосвязи между многими экономическими характеристиками и показателями. Спектр элементарных функций используемых в экономике довольно широкий:

Линейные; Дробно-линейные; Степенные; Показательные; Логарифмические.

Наибольшее распространение имеют функции спроса (или потребления) отражающие зависимость спроса от комплекса факторов, влияющих на него. Примером такой зависимости служит дробно-линейная функция Торнквиста

.

Эта функция описывает зависимость величины спроса на предметы первой необходимости от величины доходов. Соответствующие этим функциям кривые называются кривыми Энгеля по имени впервые изучившего их немецкого ученого.

Для построения графика этой функции достаточно преобразовать ее к виду:

График функции может быть построен растяжения в раз гиперболыи последующим сдвигом полученной кривой вдоль координатных осей.

Другим примером функции в экономике служат функции спроса и предложения для соотношения спроса и цен. Известно, что для большинства благ действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь возможны различные типы зависимости и, следовательно, различные формы кривых.

Производственные функции

Производственная функция – это экономико-математическая функция, связывающая переменные величины затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства) с величинами (объемами) выпускаемой продукции.

Аналитическая запись в производственной функции означает, что если ресурс затрачивается или используется в объемеединиц, то продукция выпускается в объемеединиц. Законв данном случае, являясь характеристикой производственной системы, отображает независимую переменную «ресурс» в зависимую переменную «выпуск». Однако следует заметить, что такая трактовка производственной функции имеет смысл только в микроэкономической теории, где подпонимается максимально возможный объем выпуска продукции, при затрачиваемом ресурсе вединиц. В макроэкономической теории такая модель не совсем корректна.

В микро экономике производственная функция чаще всего записывается в виде степенной функции , где- величина затрачиваемого ресурса (например, затрачиваемого времени),- объем выпускаемой продукции ( например, количество обработанной информации). Числаиназываются параметрами производственной функции. Графиком однофакторной производственной функции служит кривая

Интерпретация полученной кривой отражает фундаментальное положение экономической теории, которое называется законом убывающей эффективности. На графике хорошо видно, что с ростом величины затрачиваемого ресурса объем выпуска продукции растет, однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема выпускаемой продукции.

Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Рассмотрим множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, …..n,…

Пусть каждому натуральному числу по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие действительное число х1, х2, х3, … хn, … Тогда говорят, что на множестве натуральных чисел задана числовая последовательность {xn}.

Числовая последовательность считается заданной, если указано правило, по которому может быть вычислен любой член последовательности, если только известен его номер. Это правило называется формулой n члена последовательности.

Например: хп = n2

Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для всякого е > 0 найдётся число N(е) такое, что для всех n>N выполняется неравенство │хп - а│< е. Обозначают .

Последовательности имеющие предел называются сходящимися.

Неравенство │хn-a│< е равносильно неравенству а – е < хn<a+ е, то есть точки хnЂ (a– е, a+ е ) или е – окрестности точки а. Учитывая это замечание определение предела последовательности можно сформулировать так:

Число а называется пределом последовательности, если для любого е>0 найдется такое числоN(е), что все члены последовательности с номерамиn>Nпопадут в е – окрестность точки а. Вне этой окрестности либо не имеется точек хп, либо имеется конечное их число.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство:

Пусть последовательность имеет два различных предела а и b. Рассмотрим окрестности точек а и b такой малой величины, что они не пересекаются. Воспользуемся вторым определением предела последовательности. Поскольку число а является пределом последовательности, то существует такая окрестность точки а, что все члены последовательности за исключением может быть их конечного числа попадут в е – окрестность точки а. Так как число b является пределом последовательности, то все члены последовательности за исключением лишь их конечного числа попадут в е – окрестность точкиb. Таким образом, все члены одного бесконечного множества попали в окрестности двух различных точек, чего быть не может. Получили противоречие. Следовательно, предел единственный и теорема верна.

Основные свойства пределов

Предел алгебраической суммы конечного числа последовательностей равен алгебраической сумме пределов последовательностей слагаемых, если последние пределы существуют.

Предел произведения конечного числа последовательностей равен произведению пределов последовательностей сомножителей, если последние пределы существуют.

Предел частного последовательностей равен частному пределов числителя и знаменателя, если последние пределы существуют и предел последовательности знаменателя отличен от нуля.

Докажем, например, первое утверждение.

Пусть имеются две последовательности {xn} и {yn} и их сумма {xn +yn}. Требуется доказать, что

Воспользуемся определением предела последовательности.

Пусть , . Это значит, что для любого е>0 существует число N, такое что│xn - a│< и│yn - b│< .