Математический анализ Краткий курс лекций (стр. 1 )

Математический анализ Краткий курс лекций

Обрубов

Калуга - 2012

Введение в математический анализ.

Действительные числа. Переменные и постоянные величины.

Одним из основных понятий математики является число. Положительные числа 1,2,3, … , которые получаются при счете, называются натуральными. Числа … -3,-2,-1,0,1,2,3,… называют целыми. Числа, которые могут быть представлены в виде конечного отношения двух целых чисел () называются рациональными. К ним относятся целые и дробные, положительные и отрицательные числа. Числа, которые представляются бесконечными непериодическими дробями называются иррациональными. Примерами иррациональных чисел служат,. В множестве иррациональных чисел выделяют трансцендентные числа. Это числа, которые являются результатом неалгебраических действий. Наиболее известными из них являются число и число. Числа рациональные и иррациональные называются действительными. Действительные числа изображаются точками на числовой оси. Каждой точке на числовой оси соответствует одно единственное действительное число и, наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой оси. Таким образом, между действительными числами и точками числовой прямой установлено взаимно-однозначное соответствие. Это дает возможность равнозначно употреблять термины “число а” и “точка а”.

В процессе изучения различных физических, экономических, социальных процессов часто приходится иметь дело с величинами, представляющими численные значения параметров исследуемых явлений. При этом одни из них изменяются, а другие сохраняют свои значения.

Переменной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численное значение которой не изменяется в данной задаче или эксперименте называется постоянной. Переменные величины обычно обозначают латинскими буквамиа постоянные.

Переменная величина считается заданной, если известно множество значений, которые она может принимать. Это множество называется областью изменения переменной.

Существуют различные виды множеств значений числовой переменной величины.

Интервалом называется множество значений х, заключенных между числами a и b, при этом числа a и b не принадлежат рассматриваемому множеству. Интервал обозначают: (a, b);a<x<b.

Отрезком называется множество значений х, заключенных между числами а иb, при этом числа а иbпринадлежат рассматриваемому множеству. Отрезок обозначают [a, b] ,a≤x≤b.

Множество всех действительных чисел является открытым интервалом. Обозначается : ( - ∞,+ ∞ ), -∞ <х <+∞, R.

Окрестностью точки х0называется произвольный интервал ( а, b), содержащий точку х0, все точки этого интервала удовлетворяют неравенств уa<x<b.

е - окрестностью точки а называется интервал с центром в точке а, удовлетворяющий неравенствуa–е<x<a+ е. Обозначают е(а), здесь – называется радиусом окрестности, - центром окрестности.

Функция. Основные определения и понятия.

Функция является одним из основных понятий математического анализа. Пусть Х и У произвольные множества действительных чисел.

У, то говорят, что задана∈ Х по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие единственное вполне определенное действительное число у∈ Если каждому числу х функция с областью определения Х и множеством значений У. Обозначают у =f(х). Переменная величина х называется аргументом функции.

В определении функции существенны два момента: указание области определения и установление закона соответствия.

Областью определения или областью существования функции называется множество значений аргумента при которых функция существует, то есть имеет смысл.

Областью изменения функции называется множество значений у, которые он принимает при допустимых значениях х.

Способы задания функции.

Аналитический способ задания функции.

При этом способе задания функции закон соответствия записывается в виде формулы (аналитического выражения), указывающей посредством каких математических преобразований по известному значению аргумента х можно найти соответствующее значение у.

Функция может быть задана одним аналитическим выражением на всей своей области определения или представлять совокупность нескольких аналитических выражений.

Например: у = sin (x2 + 1)

2. Табличный способ задания функции

В результате непосредственного наблюдения или экспериментального изучения какого-либо явления или процесса в определенном порядке выписываются значения аргумента х и соответствующие им значения у.

x	X1	X2	x3	…	xn
y	Y1	Y2	y3	…	yn

Эта таблица определяет функцию у от х.

Примером табличного способа задания функции могут служить таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов, даты и курсы валют, температура и влажность воздуха и т. д.

3. Графический способ задания функции.

Графический способ задания функции состоит в изображении на координатной плоскости точек ( х, у ) посредством технических устройств. Графическим способом задания функции в математическом анализе не пользуются, но к графической иллюстрации аналитически заданных функций прибегают всегда.

График функции

Зададим прямоугольную декартову систему координат хоу и некоторую функцию у = f( х ). Рассмотрим пары соответствующих значений х иf( х ). Образом этой пары на плоскости служит точка М (х, f(х)). Если переменная х принимает всевозможные значения из области существования функции, получается множество точек плоскости, которое составляет некоторую кривую. Эта кривая называется графиком функции.

Основные элементарные функции.

Алгебраические операции сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и трансцендентные ( логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические ) называются элементарными.

Функция у = у(х) называется элементарной, если её можно задать одним аналитическим выражением, так что каждое значение у получается из х при помощи конечного числа элементарных операций.

Основными элементарными функциями называются следующие:

1. Степенная функция у = хn, где n - любое действительное число.

2. Показательная функция у = ах, где а > 0, а ≠ 1.

3 .Логарифмическая функция у = logax, где а > 0, а ≠ 1.

4. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x

5. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,

y = arctg x, y = arcctg x.

Рассмотрим подробнее основные элементарные функции и их графики.

Линейная функция.

,

.

Функция строго возрастает при , строго убывает при. График функции – прямая линия.

Квадратичная функция.

.

При

.

Функция строго убывает на и строго возрастает на. График функции – парабола с осью, вершиной в точкеи ветвями, направленными вверх.

При

.

Функция строго возрастает на и строго убывает на. График функции – парабола с осью, вершиной в точкеи ветвями, направленными вниз.

Обобщенная степенная функция .

.

Функция четная, строго убывает на и строго возрастает на(рис. 1.1).