Математический анализ Краткий курс лекций (стр. 6 )

Тогда .

Замечание. Теоремы 1–3 доказаны для случая . Однако, они могут быть применимы при, поскольку доказательство теорем в этом случае проводится аналогично.

Например. Найти пределы:

1. ;

; ; . В этом пределе теорему о пределе частного непосредственно применять нельзя, т. к. предел знаменателя равен нулю. Поэтому сначала многочлен, стоящий в числителе разложим на множители, после этого сократим дробь и вычислим предел. ; ; . Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как числитель и знаменатель конечного предела не имеют. В этом случае сначала числитель и знаменатель делят на степень с наивысшим показателем, а затем переходят к пределу:; Если под знаком предела имеется иррациональность и предел знаменателя равен нулю, то необходимо перенести иррациональность в числитель, для чего до множить знаменатель и числитель на выражение, сопряженное знаменателю.

Первый и второй замечательные пределы.

Функция не определена при. Однако её значения в окрестности точки нуль существуют. Поэтому можно рассматривать предел этой функции при. Этот предел носит название первого замечательного предела.

Он имеет вид : .

Например. Найти пределы: 1.. Обозначают, если, то.; 2.. Преобразуем данное выражение так, чтобы предел свёлся к первому замечательному пределу.; 3..

Рассмотрим переменную величину вида , в которойпринимает значения натуральных чисел в порядке их возрастания. Дадимразличные значения: если

Давая следующие значения из множества , нетрудно увидеть, что выражение прибудет. Более того, доказывается, чтоимеет предел. Этот предел обозначается буквой:.

Число иррациональное: .

Теперь рассмотрим предел функции при. Этот предел называетсявторым замечательным пределом

Он имеет вид .

Например.

а) . Выражениезаменим произведениемодинаковых сомножителей, применим теорему о пределе произведения и второй замечательный предел; б). Положим, тогда,.

Второй замечательный предел используется в задаче о непрерывном начислении процентов

При начислении денежных доходов по вкладам часто пользуются формулой сложных процентов, которая имеет вид:

,

где - первоначальный вклад,

- ежегодный банковский процент,

- число начислений процентов в год,

- время, в годах.

Однако, в теоретических исследованиях при обосновании инвестиционных решений чаще пользуются формулой экспоненциального ( показательного ) закона роста

.

Формула показательного закона роста получена как результат применения второго замечательного предела к формуле сложных процентов

Непрерывность функций.

Рассмотрим функцию определённую в некоторой точкеи некоторой окрестности точки. Пусть в указанной точке функция имеет значение.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки, включая саму точку и .

Определение непрерывности можно сформулировать иначе.

Пусть функция определена при некотором значении,. Если аргументудать приращение, то функция получит приращение

.

Пусть функция в точке непрерывна (по первому определению непрерывности функции в точке),