Математический анализ Краткий курс лекций (стр. 7 )

тогда

или .

То есть, если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргументав этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна.

Определение 2. Функция называется непрерывной при(в точке), если она определена в этой точке и некоторой её окрестности и если.

Учитывая первое и второе определение непрерывности функции в точке можно получить следующее утверждение:

или , но, тогда.

Следовательно, для того чтобы найти предел непрерывной функции при достаточно в аналитическое выражение функции вместо аргументаподставить его значение.

Определение 3. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

Например:

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна во всех точках области определения.

Воспользуемся вторым определением непрерывности функции в точке. Для этого возьмём любое значение аргумента и дадим ему приращение. Найдём соответствующее приращение функции

Тогда ;

Пример 2. Доказать, что функция непрерывна во всех точкахиз.

Дадим аргументу приращение, тогда функция получит приращение

Найдём так как функция , то есть ограничена.

Аналогично можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках области их определения, то есть область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

Определение 4. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1. Если две функции и непрерывны в точке, то функциитакже непрерывны в точке.

Доказательство:

Так как инепрерывны в точке, тои.

Воспользуемся теоремами о пределах функции

Теорема доказана.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке найдётся по крайней мере одна точкатакая, что значение функции в этой точкебудет больше, чем значение функции в любой точке этого отрезка, т. е.; и найдётся по крайней мере одна точкатакая, что значение функции в этой точкебудет меньше, чем значение функции в любой точке этого отрезка, т. е..

Значение функции называется наибольшим значением функции на отрезке, значение функцииназывается наименьшим значением функции на отрезке.

Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезканайдётся по крайней мере одна точка, в которой.

Теорема 4. Если функция непрерывна на отрезкеи на концах отрезка принимает неравные между собой значенияи, то каково бы ни было числовнутри отрезка, такое что, найдётся по крайней мере одна точка, в которой функция принимает значение равное, т. е..

Если в какой-нибудь точке нарушается условие непрерывности (т. е. либо, либо, либо не определена в ), то говорят, что функция в точкетерпит разрыв.