Суть и характер автоматического управления (стр. 5 )

3.1 Математический  аппарат классической теории

Исследование систем регулирования  существенно упрощается при использовании математических методов операционного исчисления,  поскольку позволяет от решения дифференциальных уравнений перейти к работе с алгебраическими уравнениями. Конкретно используется преобразования Фурье и Лапласа. В основе лежат формулы Эйлераи cos ?t = (e+ j? + e - j?)/2 В преобразовании Фурье временной сигнал  представляется как сумма  (?) экспоненциальных функций ept., где  pt =  ± j?,  что  соответствует представлению  сложного сигнала в виде суммы гармоник cos ?t и sin ?t.  В интегральном представлении соотношение

называют прямым преобразованием Фурье.  Функция угловой частоты – называется Фурье-изображением или частотным спектром функции

Эти функции (спектры) в теории автоматического управления представляют графически, изображая отдельно их действительную и мнимую части:

На рис.  представлено типичное изображение спектра непериодического сигнала.

Заметим, что временная функция имеет преобразование Фурье тогда и только тогда, когда: функция однозначна, содержит конечное число максимумов, минимумов и разрывов;  функция абсолютно интегрируема, то есть

 

Поэтому нет спектра единичной ступенчатой функции.

Соотношение

называют прямым преобразованием Лапласа. Комплексная переменная   или S = (?  ± j?) называется оператором Лапласа, где  ? - угловая частота, - некоторое положительное постоянное число. Функция комплексной переменной называется изображением сигнала по Лапласу. Операция определения изображения по оригиналу сокращенно записывается - , где - символ прямого преобразования Лапласа. Символ L[х(t)] обозначает операцию преобразования Лапласа для функции, стоящей в квадратных скобках. Преобразование Лапласа определяется для тех значений s,  при которых интеграл сходится. Преобразование Лапласа для вектор-функции Х (t), является вектором, компоненты которого являются преобразованиями Лапласа для  каждой  компоненты  вектора. Функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Преобразование Лапласа обратимо, то есть, зная изображение по Лапласу, можно определить оригинал, используя соотношение обратного преобразования

или , где - символ обратного преобразования Лапласа.

Сравниваем преобразование Фурье и Лапласа для функций отличных от нуля только при положительном значении аргумента 

 

положительном значении аргумента:

Практически любые функции времени в Теории Автоматического Управления  имеют преобразование Лапласа.

На практике для выполнения прямого и обратного преобразований Лапласа используются таблицы преобразований, фрагмент которой показан в табл. 1.

Таблица 1.

	1

Таблицы преобразования Лапласа могут быть использованы для определения Фурье-изображений таких абсолютно интегрируемых функций, которые равны 0 при . Для получения Фурье-изображений в этом случае достаточно положить в изображении по Лапласу значение ? = 0, т. е.  .

Рассмотрим основные теоремы преобразования Лапласа, которые широко используются в ТАУ.

1.Теорема линейности. Любое линейное соотношение между функциями времени справедливо и для изображений по Лапласу этих функций;

;

2 Теорема о дифференцировании оригинала.  Если

  и  ,  то ,

где - начальное значение оригинала. Для второй производной используют выражение

.

Для производной -го порядка справедливо следующее соотношение:

; Для производной -го порядка при нулевых начальных условиях справедливо следующее соотношение:

;

то есть дифференцирование степени оригинала по времени при нулевых начальных условиях соответствует умножению изображения на .

Теорема об интегрировании оригинала.

;

В области изображений по Лапласу сложные операции дифференцирования и интегрирования сводятся к операциям умножения и деления на , что позволяет переходить от дифференциальных и интегральных уравнений к алгебраическим. Это является главным достоинством преобразования Лапласа как математического аппарата теории автоматического управления.

Теорема запаздывания.  Для любого справедливо соотношение

;

Теорема о свертке (умножении изображений).

,

Где  ;

Функцией во временной области ( обратной функцией для S), соответствующей  S = ? ± j?, будет показательная функция  С*e ? sin(?t).

3.3 Использование полиномов и дробных функций Функции комплексного переменного в различных формах широко используют в ТАУ для представления передаточных функций и решения задач синтеза и анализа САУ. В предыдущем разделе мы получили дробно-рациональную функцию некоторого действительного или комплексного переменного :