Суть и характер автоматического управления (стр. 7 )

По выражению (4.1) получим отношение

.

Частотная характеристика динамического звена определяется как отношение спектра (преобразования Фурье) выходного сигнала к спектру входного сигнала. Знание частотной характеристики звена позволяет определить выходной спектр по входному.

Рассмотрим динамическое звено –

Получим спектр выходного сигнала – импульсной характеристики

.

Тогда имеем,  что преобразование Фурье от импульсной характеристики равно частотной характеристике динамического звена. Передаточную функция комплексной или частотной  переменной можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей для каждой частоты  в следующем виде –

Здесь:

– действительная (вещественная) часть  для  ,

– мнимая часть ,

– модуль (амплитуда) ,

– фаза для аргумент  ? .

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями частоты, поэтому частотная характеристика графически представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) –  . Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф (след движения конца) вектора , построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –  .

  4.Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –  .

  5. Мнимая частотная характеристика (МЧХ) –  .

4.3 Уточнение понятия передаточной функции.  Пусть имеется звено с входным сигналом  .

Установившийся сигнал на выходе динамического звена можно описать следующим выражением

. (4,3).  Сигнал на выходе звена определим с помощью теоремы об умножении изображений  - по теореме о свёртке:

В результате получаем

.

Для перехода к установившемуся режиму полагаем , тогда получаем

.  Но интеграл здесь есть  прямое преобразование Фурье для функции w (?),

.

Поэтому с учетом (4,3)

Отсюда следует простой алгоритм экспериментального определения частотных  характеристик линейного динамического звена, объекта или системы управления  конкретной структуры:

Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты и постоянной амплитуды. Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса. Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала. Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала определит модуль частотной характеристики при частоте .  Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент) частотной характеристики при частоте . Умножение значения модуля на cos(угла) даст значение вещественной части характеристики, а умножение значения модуля sin(угла) даст значение мнимой части характеристики.

Применяя данный алгоритм для частот от нуля до бесконечности, можно экспериментальным путем определить частотные характеристики конкретного устройства. Строим графики всех типов частотных характеристик и получаем математическое описание объекта.

       Частотные характеристики  показывают, во сколько раз объект (динамическое звено или устройство), работающее в установившемся режиме, изменяет амплитуду входной синусоиды частоты , и на какой угол сдвигает входную синусоиду по фазе.

4.3 Примеры типовых звеньев 

Апериодическое звено первого порядка —инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

.

К стандартному виду приводится делением на правой и левой части уравнения:

,

где:

— выходная величина;  — входная величина; — коэффициент усиления звена;  — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путем применения к дифференциальному уравнению преобразования Лапласа:

,

.

Комплексная передаточная функция получается при подстановки вместо переменой . Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число :

Обратное преобразование Лапласа апериодического звена дает следующие выражения для временных характеристик: импульсная функция -

,

Переходная характеристика h(t) (т. е. реакция на единичное ступенчатое  воздействие):

,

.

Частотные  характеристики представлены ниже.  Следует обратить внимание на то, что точки  перегиба этих кривых связаны со значением величины Т. Особенно заметно это на годографе мнимой частотной характеристике (МЧХ).

.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка. Это частично верно т. к. много законов физики описываются этими уравнениями. Например:

1. При движении твердого тела в жидкой или газообразной среде на него действует сила сопротивления (или вязкого трения). При таком режиме движения второй закон Ньютона записывается в виде следующего дифференциального уравнения: