Суть и характер автоматического управления (стр. 6 )

(1)

где - полиномы числителя и знаменателя, - действительные числа, - порядок числителя, - порядок знаменателя (всей дробно-рациональной функции функции), - для функций используемых в ТАУ. Здесь S = ? ± j?.

Полиномы дробно-рациональной функции могут быть представлены в виде произведения биномов (разложение многочлена на сомножители), тогда функция может быть представлена в форме Боде

(2)

где - корни уравнения , - корни характеристического уравнения .

Корни уравнения называют нулями дробно-рациональной функции , так как

. Корни характеристического уравнения называют полюсами дробно-рациональной функции, так как. Полюсы и нули есть действительные и комплексно-сопряженные числа. Их принято располагать на плоскости комплексной переменной , обозначая расположение полюсов крестиками, а нулей кружками. На рисунке показано расположение полюсов и нулей некоторой дробно-рациональной функции.

Для дифференциального уравнения порядка n, описывающего какой то производственный процесс, преобразование Лапласа будет иметь вид:

. где Y(s) и U(s) преобразование Лапласа функций Y(t)  и U(t).  Переход от одной модели к другой прост и заключается в замене знаков дифференциалов  на операторы s, знаков интегралов  на множители, а самих u(t) и y(t) - изображениями U(s) и Y(s). Это алгебраическое уравнение и работают  с ними методами линейной алгебры. Начальные значения U(s) и Y(s) предполагаются нулевыми. Дробную функцию W(s)=Y(s)/ U(s) можно представить в форме Боде.

Пример  Представьте дробно-рациональную функцию

в форме Боде и покажите расположение полюсов и нулей дробно-рациональной функции на комплексной плоскости.

Решение

Найдем корни уравнения  ( «нули»  ) .

Получаем два комплексно-сопряженных корня («нуля»)  , .

Найдем полюсы

.  Получаем три полюса, решая кубическое уравнения.

.

Покажем расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости (см. рис. 2).

Дробно-рациональную функцию (1) часто представляют в виде суммы простейших дробей (форма Хэвисайта)

(3)

где - корни характеристического уравнения , - коэффициенты разложения, которые находят по следующей функции:

Здесь  в выражения для В и А° подставляют численные значения корней. Такое представление дробно-рациональной функции возможно, если полюса простые.

(4)

Пример  Представьте дробно-рациональную функцию

в форме Хэвисайта,  используя формулы разложения.  Решение

Уравнение полинома числителя имеет вид  .

Характеристическое уравнение для получения полюсов имеет вид

.

Найдем корни характеристического уравнения

, .

Определим производную от полинома знаменателя

.

Определим коэффициенты разложения соответствующие по номеру полюсам

, .

Тогда форма Хэвисайта имеет вид

.

4.1 Передаточные функции.

Отношение изображений выходного и входного сигналов исследуемого объекта называют передаточной функцией динамического звена

.  (4.1)

Суть передаточной функция связана с понятием импульсной функции. Импульсной характеристикой  динамического звена называют реакцию звена на импульсное воздействие , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид –

Рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией . На входе дельта функция 

В этом случае  имеем

. Преобразование Лапласа импульсной функции = 1.

Таким образом

Получаем, что передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена (т. е. выхода с объекта при подаче на импульсного сигнала).

В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции

,

4.2 Частотные характеристики динамических звеньев (объектов)

Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента, полученную путем формальной замены на в выражении передаточной функции

Рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией и сигналами , . Пусть , – абсолютно интегрируемые функции и равны нулю при . Тогда частотные спектры этих сигналов (преобразование Фурье) этих функций можно определить следующим образом –

.