Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа (стр. 12 )

Итак, если , данное неравенство преобразуется и решается так:

  В том случае, когда , данное неравенство будет выполняться, так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой.

Ответ: .

Замечание. При решении последней задачи мы фактически получили такие новые схемы, легко выводимые из схем (1) и (2):

  (4)

  (5)

Если в правой части подобного неравенства стоит не единица, а любое другое число кроме нуля, можно естественно, поделить на него обе части неравенства и, в зависимости от знака этого числа, перейти к неравенствам из схем (4) или (5).

3.2.2. Умножение обеих частей неравенства на функцию

Выражения и называются сопряженными друг другу. Заметим, что их произведение уже не содержит корней из и . Поэтому в ряде задач вместо возведения в квадрат, приводящего к слишком громоздким выражениям, разумнее умножить обе части неравенства на выражение, сопряженное одной из них.

Пример 11. Решить неравенство .

Решение. Найдем ОДЗ:

Умножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно, положительное в ОДЗ:

Дальнейшее решение зависит, очевидно, от знака общего множителя левой и правой частей полученного неравенства .

Если он меньше нуля, то есть , сократив на этот отрицательный множитель, переходим к неравенству:

,

из которого находим прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны)

Во втором случае, если общий множитель положителен (то есть при ), после сокращения на него получаем неравенство

,

из которого прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) получаем, что оно справедливо при .

Осталось указать, что в третьем возможном случае – если общий множитель равен нулю, – неравенство не выполняется: мы получаем тогда , что неверно.

Ответ: .

3.2.3. Метод введения новой переменной

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться метод введения новой переменной.

Иногда удается иррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным. [24]

Пример 12. Решить неравенство .

Решение. Перепишем исходное уравнение .

Сделаем замену , . Тогда получим

Таким образом, для определения получаем совокупность неравенств

Ответ. .

Пример 13. Решить неравенство .

Решение. Введем новую переменную , .

Тогда и для переменной t получаем рациональное неравенство

.

Осталось сделать обратную замену и найти :

Ответ. .

3.2.4. Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций

Использование монотонности функции

Пусть на промежутке задана возрастающая функция и требуется решить неравенство (или ). Если – корень уравнения , причем , то решения данного неравенства – весь промежуток (соответственно промежуток ). Единственность корня следует из монотонности . Понятно, что если требуется решить нестрогое неравенство, то при том же рассуждении в ответ войдет и число , а если функция задана на замкнутом или полуоткрытом промежутке, то в ответ войдут соответствующие концы промежутка. [26]

Пример 14. Решить неравенство .

Решение. Заметим, что левая часть данного неравенства – возрастающая функция (обозначим ее через ). При левая часть равна правой. Учтем ОДЗ исходного неравенства и рассмотрим его на промежутке . Имеем , то есть данное неравенство выполняется. При по той же причине (из-за возрастания функции ) , то есть данное неравенство не выполняется. Так как исследование проведено при всех допустимых значениях , решение закончено.

Ответ:

Использование ОДЗ

Пример 15. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все , удовлетворяющие условию . Ясно, что не является решением данного неравенства. Для из промежутка имеем , а . Следовательно, все из промежутка являются решениями данного неравенства.