Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа (стр. 17 )

Б. первый радикал, получаем уравнение , равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение,. Последнее уравнение равносильно системе Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Оба корня удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются корнями исходного уравнения. В ответе нужно указать произведение корней. Ответ: 48. Введем новую переменную , тогда , причем . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного , откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: . Введем новую переменную . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Первый корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение , получаем корни и . Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ: . Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: и Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы: Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Решение второй системы: Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Оба корня не удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются посторонними корнями исходного уравнения. Ответ: . Введем новые переменные и . Тогда исходное уравнение принимает вид: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что . Итак, надо решить систему уравнений она имеет два (действительных) решения: , ; , . Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным и систему первая из них дает , вторая дает . Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , .

Приложение В

Разработка факультативного занятия на тему «Способ рационализации при решении иррациональных уравнений»

Ход занятия

Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей.

Способ решения иррациональных уравнений, основанный на применении рационализирующих подстановок, назовем способом рационализации.

Применяя рационализирующую подстановку, необходимо следить за тем, чтобы область определения нового рационального уравнения, получаемого в результате этой подстановки, соответствовала области определения данного иррационального уравнения. Только при этом условии рационализирующая подстановка приведет рассматриваемое иррациональное уравнение к рациональному уравнению, которое всюду в области его определения эквивалентно данному.

Рассмотрим рационализацию некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.

Рационализация выражения

Выражение вида

,  (1)

где обозначает рациональную функцию, и – постоянные, а – любое целое положительное число, рационализируется подстановкой

.  (2)

Действительно, возводя обе части равенства (2) в -ую степень, получим , откуда , причем функция рациональна. Следовательно,