Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа (стр. 15 )

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. ,

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Будем решать каждую из систем по отдельности.

Решение первой системы:

Последняя система не имеет корней, так как дискриминант уравнения меньше нуля.

Решение второй системы:

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение

Решение. ,

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Будем решать каждую из систем по отдельности.

Решение первой системы:

Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств и пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет.

Решение второй системы:

Ответ: .

Иррациональные уравнения, содержащие параметр

Уравнение вида называется иррациональным с параметром относительно неизвестного , если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно .

Как и раньше, будем находить только действительные корни.

Трудно указать какой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ решения иррациональных уравнений, содержащих параметр.

Проиллюстрируем некоторые способы решения на примерах.

Пример 3. Для каждого действительного значения параметра решить уравнение

.

Решение. Исходное уравнение равносильно смешанной системе

При эта система решений не имеет.

При получим решение

Теперь необходимо найти те значения , при которых эта система имеет решение:

Ответ: при – корней нет;

  при   .

Для решения иррационального уравнения иногда удобно ввести вспомогательную неизвестную величину. При этом получаем квадратное уравнение с параметром, которое нужно решить в пределах некоторого ограниченного множества значений нового неизвестного.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Область определения данного уравнения:

Так как и , то и .

Сделаем замену , тогда и исходное уравнение можно записать в виде системы

которая равносильна системе

Корни уравнения должны удовлетворять первому условию последней системы, то есть необходимо решить систему

Итак, при исходное уравнение имеет единственный корень . Отсюда при имеем

,

Ответ: при ;

  при – корней нет.

Иррациональные показательные уравнения

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так:

,

Приведем все степени к одному основанию 7:

.

Сделаем замену , , тогда получаем уравнение , корнями которого являются