Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа (стр. 18 )

.

Поскольку рациональная функция от рациональной функции представляет собой также рациональную функцию, то выражение, стоящее в правой части последнего равенства, является рациональным.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ рассматриваемого уравнения . Рационализирующей подстановкой это уравнение приводится к эквивалентной ему смешанной системе

или (сокращая дробь на ) системе

Решением последней будет . Воспользовавшись подстановкой, получим .

Ответ: .

Рациональность дробно-линейных иррациональностей

Аналогично предыдущему доказывается, что функция вида

,  (3)

где , , и – некоторые постоянные, а – любое целое положительное число (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии приведена к рациональному виду подстановкой

  (4)

Иррациональная функция

  (5)

рационализируется при помощи подстановки

  (6)

где – наименьшее общее кратное показателей радикалов , , …

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Будем искать корни данного уравнения в области (очевидно, что числа и не являются его корнями). Разделим обе части уравнения на :

.

Полученное уравнение в рассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки

сводится к смешанной системе

эквивалентной ему в этой области. Определив решения этой системы и и воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.

Ответ: .

Рационализация биноминальных выражений

Можно доказать, что выражение

,  (7)

где и – постоянные, а показатели степеней , – некоторые рациональные числа, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях, когда оказывается целым одно из чисел , или .

В этих случаях возможны следующие подстановки:

Если – целое, то , где – наименьшее общее кратное знаменателей чисел и .

Если – целое, то , где – знаменатель числа .

Если – целое, то , где – знаменатель числа .

Существование указанных трех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения к рациональному виду уравнений в первом случае и во втором и третьем случаях.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Так как – не является корнем уравнения, разделим обе его части на . Выделяется биномиальное выражение:

.

Имеет место третий случай рационализации ( и – целое число). Следовательно, будем применять подстановку . Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим , так что . Теперь с помощью подстановки и найденного значения получаем

и исходное иррациональное уравнение приводится к рациональному , или . Определив корни этого уравнения , и воспользовавшись подстановкой, находим

Ответ:

Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера

Квадратичной иррациональностью назовем функцию вида

,  (9)

где и – некоторые постоянные. Покажем, что это выражение всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера. При этом мы, конечно, будем считать, что квадратный трёхчлен неотрицателен и не имеет равных корней (в противном случае корень можно заменить рациональным выражением).