Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа (стр. 16 )

Сделаем обратную замену:

или – уравнение не имеет решений.

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Приведем все степени к одному основанию:

.

откуда получаем уравнение которое равносильно уравнению:

Ответ:

Иррациональные логарифмические уравнения

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем данное уравнение:

.

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Уравнение этой системы равносильно совокупности уравнений:

Последнее уравнение этой совокупности равносильно уравнению:

Из неравенства системы следует, что . Следовательно, – посторонний корень.

Ответ: ,

Сколько корней имеет уравнение ?

Сколько корней имеет уравнение ?

Приложение Б

Диагностирующая контрольная работа №1

Сколько корней имеет уравнение ?
А. ни одного	Б. один	В. два	Г. четыре
Решите уравнение, укажите корень уравнения  (или сумма корней, если их несколько).
А.	Б. 1	В. 2	Г. корней нет
Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).
А.	Б.	В.	Г.
Решите уравнение, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).
Решите уравнение , укажите корень уравнения.
Решите уравнение , укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший)
Решите уравнение , укажите корень уравнения.
Решите уравнение .

Диагностирующая контрольная работа №2

Сколько корней имеет уравнение ?
А. четыре	Б. два	В. один	Г. ни одного
Решите уравнение, укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).
А. 4	Б. 1	В.	Г. корней нет
Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).
А.	Б.	В.	Г.
Решите уравнение, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).
Решите уравнение , укажите корень уравнения.
Решите уравнение , укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший).
Решите уравнение , укажите корень уравнения.
Решите уравнение .

Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №1

А. первый радикал, получаем уравнение , равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение, . Последнее уравнение равносильно системе Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Первый корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: . Введем новую переменную , тогда , причем . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного , откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: . Введем новую переменную . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид Решая первое уравнение этой системы, получим корни и . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение , получаем корни и . Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ: . Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: и Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы: Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств и пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет. Решение второй системы: Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: . Введем новые переменные и . Тогда исходное уравнение принимает вид: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства , в третью степень и заметим, что . Итак, надо решить систему уравнений она имеет два (действительных) решения: , ; , . Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным и систему первая из них дает , вторая дает . Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , .

Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №2