Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа (стр. 9 )

Проведем прямую . Из рисунка следует, что график функции лежит не ниже этой прямой, а график функции не выше. При этом эти графики касаются прямой в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем , а . При этом только для , а только для . Это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 29. Решить уравнение .

Решение. Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 2.

Легко проверяется, что точка является точкой пересечения графиков функций и , то есть – решение уравнения. Проведем прямую . Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций и . Это наблюдение и помогает доказать, что других решений данное уравнение не имеет.

Для этого докажем, что для из промежутка справедливы неравенства и , а для промежутка справедливы неравенства и . Очевидно, что неравенство справедливо для , а неравенство для . Решим неравенство . Это неравенство равносильно неравенству , которое можно переписать в виде . Решениями этого неравенства являются все . Точно также показывается, что решениями неравенства являются все .

Следовательно, требуемое утверждение доказано, и исходное уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

Кроме рассмотренных типов иррациональных уравнений существуют еще и уравнения смешанного типа. К этой группе относятся иррациональные уравнения, содержащие кроме знака радикала и другие выражения (логарифмическое, показательное, тригонометрическое), а также знак модуля и параметр. Уравнения данного типа также чаще всего включаются в задания ЕГЭ и программу вступительных экзаменов в ВУЗы.

Со всеми учащимися на уроке такие уравнения разбирать не нужно, но они могут быть рассмотрены в рамках факультативных или кружковых занятий по математике с учащимися, повышенный интерес к математике. Примеры решения уравнений смешанного типа помещены в приложении А.

3. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения. [17]

Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.

I. Пример 30. Решить уравнение .

Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью «преобразования» . Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что . Здесь необходимо применить формулу . Уравнение теперь легко решается

.

Ответ. .

Рассмотрим «обратное» преобразование.

Пример 31. Решить уравнение .

Решение. Здесь применима формула

.

Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Решая уравнение этой системы, получим корни и . Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ. .

II. Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой

.

Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение. [17]

Пример 32. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и произведем приведение подобных членов, перенос слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на . В результате получим уравнение

,

являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение

,

которое приводится к виду

.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. , .