Исследование российского рынка акций в предположении об иррациональности инвесторов (стр. 4 )

Среди недавних исследований, применяющих квантильную регрессию для обнаружения предсказуемости доходности акций на всем распределении,  статьи Ценесизоглу (Cenesizoglu) и Тиммермана (Timmermann)33, Куан (Kuan), Ли (Li) и Лиу (Liu)34, Чжу (Zhu)35 и Педерсена (Pedersen).36

Для того чтобы выяснить, как различные части распределения доходностей зависят от заданных переменных и иметь возможность прогнозирования экстремальных значений, Кёнкер (Koenker) и Бассетт (Bassett)37 предложили метод квантильной регрессии, который учитывает экстремальные результаты в распределении. В отличие от метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия или обобщенного метода моментов, которые моделируют среднюю доходность, квантильная регрессия объясняет нижний и верхний хвосты распределения доходностей. Квантильная регрессия моделирует эффект независимых переменных через условные квантили, вместо условного «среднего». Это позволяет анализировать любые произвольные точки распределения доходностей без строгих предположений о распределении ошибок. Таким образом, данная работа использует квантильную регрессию в предсказуемости доходности акций для изучения того, можно ли отклонить гипотезу о случайном блуждании (RW3) на любых квантилях распределения, что позволило бы использовать прошлую информацию при прогнозировании доходностей.

Данный подход будут осуществляться в рамках двух основных допущений: (i) с наличием поведенческой рациональности и (ii) в отсутствие рациональности в поведении инвесторов. Модель требует преобразования цены открытия акций в логарифмические доходности по следующей формуле:

,

где   – цена акции в момент времени t.

Рассмотрим несколько преимуществ использования логарифмической доходности. Во-первых, использование данного вида доходности гарантирует неотрицательное значение цен акций38. Во-вторых, использование логарифмической доходности демонстрирует лучшие  результаты в предсказании будущей кумулятивной доходности, в частности, медианного значения, чем арифметическая доходность39. Кроме того, при использовании доходностей вместо цен акций, размер инвестиций не влияет на цены, что приближает финансовые рынки к совершенно конкурентным40. Таким образом, логарифмическая доходность дает полную картину инвестиционных возможностей, устраняя эффект масштаба цен акций. Кроме того, доходность будет обладать лучшими свойствами по сравнению с ценами с точки зрения стационарности и эргодичности.41 Полученные значения доходностей используются в авторегрессионной модели порядка 1:

При моделировании предположения о поведенческой рациональности используется стандартная квантильная регрессионная модель. В допущениях о наличии в поведении инвесторов используется метод, предложенный Рахман (Rahman)42. В работе рассматриваются различные квантили распределения для того, чтобы установить, как определенная часть распределения доходностей акций зависит от лаговой доходности. В то время как параметрические или полупараметрические модели, основанные на всем распределении доходностей, имеют тенденцию сглаживать влияние прошлых значений на разных частях распределения доходностей, использование квантильной регрессии позволяет избежать данного эффекта43.

Кроме того, влияние лаговых переменных на доходность акций является асимметричным и может привести к неверной спецификации модели при использовании метода наименьших квадратов или обобщенного метода моментов.44

Квантильная регрессия показывает, как на разных участках распределения изменяется предсказуемость будущих значений с использованием прошлой информации. Исходя из уравнения (1), если - информация, доступная в момент t-1, а ц-1 является стандартным нормальным кумулятивным распределением, ф-й квантиль будет указываться как:

где ц-1(ф) - ф-й квантиль стандартного нормального распределения. бф - параметр, который изменяется с положением квантиля ф и определяется средним значением б и среднеквадратическим отклонением ошибки доходности у.

Это является типичным предположением о гауссовском распределении. Однако распределение доходностей может не являться гауссовским, поэтому была предложена следующая формула для условного квантиля распределения:

Однако с(1) не обязательно является постоянным для квантилей. Это предполагает наличие гетероскедастичности, когда коэффициенты наклона изменяются между квантилями. Бывает, что переменные, используемые для предсказания будущих значений подверженны одновременному влиянию как условной средней, так и условной дисперсии. Ниже представлен пример такой модели, приведенный в работе Чжу45:

В этом случае измеряет влияние на условную волатильность

Согласно Кёнкеру и Сяо, модель называется квантильной моделью авторегрессии (QAR), в которой коэффициенты авторегрессии могут быть ф-зависимыми и, следовательно, могут меняться в зависимости от различных квантилей распределения доходностей. Поэтому, как отмечал Чжу, если положительно коррелирует с волатильностью, то есть > 0, коэффициент наклона увеличивается с ростом ф от 0 до 1. Коэффициент наклона уменьшается, если имеется отрицательная корреляция с волатильностью, то есть <0. Следовательно, квантильная регрессия предсказательной модели (1) примет вид46:

Это обеспечивает возможность предсказания распределения и способно улавливать различия в эффекты лаговой переменной на прогнозируемые доходности, изменяя ф от 0 до 1.

Модель, представленная в формуле (6), называется моделью квантильной авторегрессии первого порядка или QAR (1)47.  В работе Кенкера и Сяо48 и Кёнкера и Бассетта49 было продемонстрировано, что параметры модели QAR (1) вычисляются путем минимизации функции потерь, показанной ниже, и ее решения называются квантилями авторегрессии:

где

Другими словами, квантильная регрессия минимизирует сумму, которая назначает асимметричные штрафы (1-ф)|е| для прогнозов, превышающих фактическое значение, и ф|е| для прогнозов меньше факта. Теоретически это означает, что он минимизирует сумму абсолютных отклонений. Оценки квантильной регрессии имеют асимптотически нормальное распределение.

Тест отношения дисперсий

Информация о том, следует ли цена акций случайному блужданию, имеет широкое применение в финансовых теориях и статистическом моделировании. Возможность отвергнуть гипотезу о случайном блуждании (RWH – random walk hypothesis) делает доходность акций предсказуемой. Гипотеза о случайном блуждании имеет 2 следствия50: некоррелированные остатки и единичный корень. Тест отношения дисперсий (VR test – Variance ratio test) проверяет остатки на отсутствие корреляции и является предпочтительнее теста единичного корня Дикки-Фуллера, поскольку последний, будучи направленным на выяснение того, является ли временной ряд стационарным относительно тренда или дифференцируемым, имеет невысокую силу в определении отклонений от случайного блуждания.51 Ло и МакКинли разработали VR-тест52, который затем часто использовался при проверке гипотезы о случайном блуждании на развивающихся рынках. Логика VR теста состоит в том, что если доходность акции случайна, дисперсия доходности за периодов в раз превышает доходность одного периода. Поэтому VR тест определяется как отношение дисперсии доходности за периодов к доходности одного периода, которое должно быть равно 1 для любого .