Рабочая программа учебной дисциплины «Алгебра и геометрия» (стр. 3 )

Вычислить: ,  . Вычислить определитель матрицы, разложив по строке или столбцу из букв: 1) ,  2) . Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

а)                б)

Векторные пространства, линейные операторы

Найти базис и размерность векторного пространства V над полем R, состоящего из всех матриц вида  ,  где a, b, c, d∈R. В двумерном векторном пространстве с базисом , отображение  f1  переводит ∀(x, y) → (3x – 2y, 2x + y), отображение  f2  переводит ∀(x, y) →

(x + y, y). Исследовать, являются ли отображения  f1, f2  линейными операторами. Если - да, то вычислить матрицу каждого линейного оператора в базисе  ,.

Линейный оператор f векторного пространства V над полем R имеет матрицу А,

в некотором базисе ,,,.

Найти ядро Ker  f  и дефект f.

Линейный оператор f в базисе ,,, задан матрицей:

Найти для вектора, , его образ f().

В трехмерном арифметическом пространстве в базисе ,, линейный оператор f задан матрицей А. Вычислить матрицу С линейного оператора f в базисе ,,, если

В некотором базисе линейный оператор f задан матрицей А, . В том же базисе векторы ,, заданы своими координатами =(1, 2), =(0, 3), =(1, 0). Выделить среди этих векторов собственные и найти их собственные значения. Пусть линейный оператор f задан матрицей А в некотором базисе. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора f, если

.

В арифметическом пространстве R4 линейный оператор f  в единичном базисе задан матрицей А;

.

Найти базис ядра линейного оператора f, ранг и дефект f.

Контрольная работа по геометрии

Контрольная № 1

Вариант 1

Дан тетраэдр АВСD, точка М – центр тяжести грани АВС, N и К – середины ребер ВD и DА соответственно. Найти координаты векторов , , и в базисе , , . В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1C1D1 диагонали А1В и В1С его граней наклонены к плоскости основания под углами 30° и 60°. Вычислить угол между этими диагоналями. М и М1 – точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1. Доказать, что . Найти угол между биссектрисами двух плоских углов прямого трехгранного угла. В четырехугольнике АВСD суммы квадратов длин противоположных сторон равны. Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

Вариант 2

1. Дана треугольная призма АВСА1В1С1, N – середина отрезка B1C1, М – точка пересечения прямых А1В и АВ1. Найти координаты векторов в базисе .

2. Дан треугольник АВС такой, что в ортонормированном базисе

(–2, 3), (0,1). Найти длину высоты ВН и угол между векторами и .

3. Доказать, что если для неколлинеарных векторов и выполнено условие , то .

4. Найти угол между биссектрисами АА1 и АА2, двух граней правильного тетраэдра АВСD.

5. В правильном тетраэдре АВСD, М и N – центры граней ВСD и АСD соответственно. Найти угол между векторами и .

Вариант 3

1. В тетраэдре АВСD точка М – центр тяжести грани ВСD, К и L – середины ребер АD и BD соответственно. Найти координаты векторов в базисе .

2. Найти длину биссектрисы BD треугольника АВС, если известно, что АВ = 2, BC = 3, АВС = 60°.

3. Доказать, что если вектора и перпендикулярны, то .

4. Доказать, что в четырехугольнике с взаимно перпендикулярными диагоналями сумма площадей квадратов, построенных на одной паре противоположных сторон, равна сумме площадей квадратов, построенных на другой паре таких сторон.

5. Найти угол между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба.

Вариант 4

1. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой все ребра равны. Найти угол между векторами и , где М – середина ребра В1С1.

2. Точка О – центр параллелограмма АВСD. Найти координаты векторов в базисе , где М – середина стороны ВС.

3. Пусть - медианы треугольника, сторонами которого являются отрезки . Доказать, что