Ведение в геометрию (стр. 2 )

Площадь небольших плоских предметов, таких, как кафельная плитка, измеряется в квадратных сантиметрах (кв. см). Квадратными метрами измеряют площадь пола в помещении (кв. м). В гектарах (то есть в квадратах, длина стороны которых 100м) измеряют площадь земельных участков.

В прямоугольниках число клеток быстро подсчитывается путем умножения длины на ширину. Площадь этого прямоугольника равна 7*3=21 клетке.

Отсюда формула для расчета площади прямоугольника выглядит так: S= a* b, где а-ширина прямоугольника, b - его длина.

Часто площадь сложной фигуры проще подсчитать, если преобразовать её в более простую фигуру путём перестановки её частей. При этом её площадь остаётся неизменной, меняется лишь взаимное расположение частей фигуры.

Задание 1

Фигура АСКМ называется параллелограммом. Разрежь его по линии МЕ и переставь полученный треугольник с другой стороны. Какая фигура получилась? Как найти площадь параллелограмма? Попробуй составить формулу для вычисления площади любого параллелограмма. Учти, что отрезок МЕ называется высотой параллелограмма.

Задание 2.

Возьми лист бумаги и начерти любой треугольник.

Затем, используя большую из сторон треугольника в качестве основания, начерти прямоугольник, как это показано на рисунке. Вырежи прямоугольник и разрежь его по сторонам треугольника. Сложи из отрезанных частей новый треугольник. Сравни его со старым. Как найти его площадь?

Задание 3.

Как найти площадь сложной фигуры?

Моделирование.

Всё в мире обладает формой, представляет собой какую-то фигуру, будь то снежинка или небоскреб. Фигуры бывают плоские, такие как многоугольники, круги, углы и т. д.

Задание 1.

Сколько разных фигур можно получить, соединяя три одинаковых квадрата край в край?

А из четырех квадратов?

Задание 2.

Можно заставить фигуру из четырех квадратов «двигаться» по странице. Для этого на каждом шаге один квадрат отрезают и помещают в другое место, сохраняя форму фигуры. Такие фигуры называются «животными».

Если попробовать сделать то же самое с другой фигурой, мы обнаружим, что она движется, но корни держат её на месте - средний квадратик сдвинуть нельзя.

Такая фигура – цветок.

А такую фигуру сдвинуть вообще невозможно. Это – камень.

Исследуй, как ведут себя остальные фигуры, составленные из четырех квадратов.

Параллелепипед.

Кроме плоских фигур, есть фигуры объёмные, например, куб, шар и другие.

Такая фигура называется прямоугольным параллелепипедом. Она превращается в куб, если все её рёбра будут одинаковые.

  Рёбра

  Грани  вершины

Чтобы склеить из бумаги такую фигуру, нужно сначала сделать «выкройку» или, как говорят математики, развёртку.

Вырежьте фигуру по контуру. Не забудьте оставить уголочки для склеивания. Склейте прямоугольный параллелепипед.

Задание 1.

Как сделать развертку куба? Чем она отличается от развертки прямоугольного параллелепипеда?

Задание 2.

Площадь развёртки называется площадью полной поверхности фигуры. Как найти площадь полной поверхности куба? Прямоугольного параллелепипеда?

Задание 3.

Какую тень будет отбрасывать куб, если свет падает на верхнюю грань? А если на одно из ребер? А если куб из проволоки?

Призма.

На протяжении многих веков математиков волнуют загадки объемных фигур. Легче других поддаются изучению так называемые многогранники. В XVIII веке российским математиком Эйлером было установлено, что для любого многогранника число граней, плюс число вершин минус число ребер всегда равно 2, то есть Г+В-Р=2. Ну-ка проверь это сам.

У этой фигуры 5 граней, 6 вершин и 9 ребер. Такая фигура называется треугольной призмой.

В основании у неё лежит треугольник.

У других призм в основании может лежать 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник и любой другой многоугольник. Сама призма тогда называется 4-угольной, 5-угольной, 6-угольной и т. д. А если в основании призмы лежит многоугольник с большим числом сторон, то сама призма становится похожа на цилиндр. Форму цилиндра имеют такие предметы, как кастрюля, шляпа, некоторые карандаши.

Задание 1.

Сколько граней имеет новый шестигранный карандаш? Какую геометрическую фигуру он из себя представляет? Выполняется ли для него формула Эйлера?

Задание 2.

На участке земли, имеющем форму квадрата, построен дом квадратной формы, длина стены которого равна половине стороны участка. Как разделить оставшийся участок на четыре равные по форме и площади части? Сделай рисунок.

Пирамида

Если взять любой многоугольник и соединить все его вершины с одной точкой, не лежащей в плоскости многоугольника, то получится каркас объёмной фигуры, которая называется пирамидой. В учебнике истории ты видел рисунки древнеегипетских пирамид. Все боковые грани у них – треугольники.

Грани

Вершины

Ребра

Задание 1.

Эта пирамида лежит на боковой грани. Мы видим, что основание у неё является прямоугольником. Такая пирамида называется четырехугольной. Сосчитай количество ребер, вершин и граней. Проверь, выполняется ли формула Эйлера.

Задание 2.

Исследуй, каждая ли фигура, составленная из четырех треугольников, может быть согнута так, что получится треугольная пирамида, то есть пирамида, в основании которой лежит треугольник?

Треугольная пирамида называется ещё тетраэдром. А, если у неё все грани равны, то - правильным тетраэдром. Развёртка правильного тетраэдра состоит из четырёх равных треугольников с одинаковыми сторонами.

Задание 3.

Построй угол в 60°. Отложи на его сторонах по 10 см. Соедини полученные точки. В построенном треугольнике соедини середины сторон. Вырежи большой треугольник и перегни бумагу по сторонам маленького треугольника. Какая фигура получилась? Что ты про неё можешь рассказать?

Задание 4.

Постарайся найти площадь поверхности фигуры, полученной в третьем задании.

Задание 5.

Как из развёртки правильного тетраэдра получить 16 равных треугольников?

Задачи на построение.

Конструирование самолётов, сооружение зданий, запуск спутников и огромное множество других проектов зависят от точности геометрических построений. Евклид – один из самых знаменитых древнегреческих геометров. Его удивительно точные чертежи позволили ему сделать целый ряд замечательных открытий.

При выполнении задач на построение используются такие инструменты, как линейка, циркуль, транспортир. Научимся решать некоторые задачи на построение.

Как построить отрезок заданной длины?

Начерти отрезок длиннее того, что тебе требуется. Разведи циркуль до требуемой длины. Поставь иглу циркуля на один из концов отрезка и пересеки отрезок дугой.

Как начертить треугольник

со сторонами 5см, 3см и 7см?

Построй на прямой отрезок в 7см. Разведи ножки циркуля на 3см, поставь иглу на один из концов отрезка и проведи дугу. Разведи циркуль на 5см, поставь иглу циркуля на другой конец отрезка и проведи вторую дугу до пересечения с первой. Соедини концы отрезка с точкой пересечения дуг. Проверь себя, измерив длины сторон полученного треугольника.

Как разделить отрезок пополам?

Разведи циркуль на расстояние, превышающее половину отрезка. Установи ножку циркуля на одном из концов отрезка, проведи выше и ниже его две дуги. Не меняя расстояния между ножками циркуля (т. е. тем же раствором циркуля), установи ножку циркуля в другой конец отрезка и снова проведи две дуги по обе стороны отрезка. Соедини точки пересечения дуг прямой линией. Она разделит твой отрезок точно пополам.

Как разделить угол пополам?

Установи ножку циркуля на вершину угла и проведи дугу так, чтобы она пересекала обе стороны угла. Установи ножку циркуля в точку пересечения дуги с одной стороной угла и произвольным радиусом проведи дугу. Не меняя раствора циркуля, повтори то же самое из точки пересечения дуги с другой стороной угла. Соедини вершину угла с точкой пересечения этих дуг. Полученный луч делит угол пополам и называется биссектрисой угла.

Железнодорожные рельсы, электрические провода, края доски представляют собой примеры линий, которые никогда не пересекаются и называются параллельными.

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то они называются перпендикулярными.

Как чертить перпендикулярные линии?

Отметь на прямой точку. Поставь ножку циркуля в эту точку и произвольным радиусом отложи отрезки на прямой по обе стороны от этой точки. Из полученных точек проведи по обе стороны прямой пересекающиеся дуги, увеличив предварительно радиус. Соедини точки пересечения дуг. Полученная прямая будет перпендикулярна первой прямой.

Как построить параллельные прямые?

Возьми на прямой две любые точки. Построй в каждой из них перпендикуляры к данной прямой. Отложи на каждом перпендикуляре одинаковые отрезки по одну сторону от прямой. Соедини концы отложенных отрезков. Полученная прямая параллельна данной.

Задание 1.

Не используя транспортир, построй угол, содержащий ровно а)45°, б)60°, в)30°, г)15°. Какие углы ты еще можешь построить без транспортира?

Задание 2.

Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, называется трапецией. Построй трапецию.

Задание 3.

В своей книге «Начала» Евклид, поясняя свои открытия, писал: «Смотри чертёж». Попробуй повторить открытие Евклида о вершинах прямых углов, опирающихся на один и тот же отрезок.

Возьми произвольный отрезок. Построй несколько прямых углов, как показано на рисунке.

Найди середину синего отрезка. Измерь циркулем расстояние от середины синего отрезка до вершин прямых углов. Сформулируй своё открытие.

Задачи на разрезание и раскладывание.

Задачи на разрезание – одна из загадочных, не до конца исследованных частей математики. Главный интерес для нас в наших исследованиях будут представлять правильные многоугольники, то есть такие многоугольники, у которых все углы и все стороны равны между собой. Например, правильный треугольник, четырехугольник (квадрат), пятиугольник, шестиугольник и т. д.