Ведение в геометрию (стр. 1 )

Ведение в геометрию

5класс

УВК «Лицей»

г. Риддер, 2011г.

Введение.

Дорогой друг, ты начинаешь изучать новый предмет. Страницы этой книги послужат тебе стартовыми площадками для увлекательных путешествий в геометрию. Что же такое геометрия? Это наука, которая изучает пространственные отношения и формы тел. А своё название она получила от древнегреческих слов «гео»- Земля и «метео»- измеряю. Очень нужная наука – геометрия. Иначе не написал бы Платон у входа в свою академию : «Не знающий геометрии пусть не входит сюда». Однако и нелегкая это наука - геометрия. Иначе не говорили бы первокурсники технических вузов: «Перевали сначала начерталку, тогда ты – студент». Наконец, не утверждал бы сам Евклид, что в геометрии нет легких путей даже для царей.

На уроках Введения в геометрию ты научишься измерять длины, массы, объемы; делать модели геометрических фигур, находить площади их поверхностей, длины линейных элементов; укладывать паркет, находить связь между геометрическими фигурами и объектами в природе.

Ты будешь испытывать удовольствие от сознания, что ты объяснил все возможные варианты, или от того, что ты нашел ответ задачи, или просто от ощущения, что ты занят чем-то стоящим. Как это всегда бывает с исследователями, ты, конечно, обнаружишь, что некоторые из намеченных путей не приводят к цели. Зато найденное тобой самим решение наполнит тебя силой и огромной радостью. Недаром великий физик, математик, философ, физиолог и лирик, неплохо владеющий шпагой, Рене Декарт в своей книге «Геометрия» писал: «И я надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что я добровольно опустил, с целью предоставить им удовольствие самим найти это». Итак, в добрый путь.

Измерения

Пусть тебе нужно измерить отрезок. Лучше всего при этом использовать измеритель. Нужно развести ножки измерителя так, чтобы они находились в концах отрезка, а затем приложить измеритель к линейке и посмотреть результат измерений.

Часто размеры отрезка так велики, что он не умещается на листе. Тогда применяют масштаб. Например, считают, что 1см соответствует 1м, то есть истинные размеры уменьшены в 100 раз. Масштаб применяется в географических картах.

Иногда достаточно измерить приблизительно длину отрезка. Для этого нужно знать некоторые данные про себя.

Длина шага

Вы хотите определить длину своего шага, чтобы впоследствии измерять расстояния шагами. Самый простой и, казалось бы, точный способ состоит в том, чтобы сделать один шаг и измерить расстояние между крайними (наиболее удалёнными) точками двух ступней. Такой способ явно не годится по двум причинам. Во-первых, расстояние между крайними точками ступней не равно длине шага, а превосходит её на длину одной ступни (правильнее было бы измерить расстояние, например, между носками двух ступней). Во-вторых, при всём старании вы вряд ли сможете сделать один обычный шаг - для этого вам нужно оказаться в состоянии обычной ходьбы. Так, как же всё-таки определить длину своего шага?

               

Измерение голыми руками

На протяжении многих веков отдельные части тела человека служили единицами длины. Так, у древних египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), который равнялся семи ладоням (66,5 мм), ладонь, в свою очередь равнялась четырем пальцам. Основными мерами длины в России были сажень и локоть, связанные с ростом человека; кроме того, применялся дюйм - длина сустава большого пальца, пядь - расстояние раздвинутых большого и указательного пальцев, ладонь - ширина кисти руки.

Еще в Древнем Египте за единицу измерения тела принимали длину стопы. При этом высота человека составляла в среднем 7 длин его стопы. В соответствии с эстетическим каноном греческого скульптора Поликлета единицей измерения тела служила голова; длина тела должна быть равной восьми размеров головы.

Измеряя какие-либо длины пальцами руки, лучше не отрывать руку от измеряемой поверхности, а приставлять один палец к другому, который затем снова вытягивать в заданном направлении (описанный процесс отдалённо напоминает движение гусеницы). Найдите длину такого размаха своих пальцев.

В романе «Мальчик-моряк» писатель Майн-Рид повествует о юном любителе морских путешествий, который оказался закупоренным в трюме корабля и выжил, благодаря своим познаниям в геометрии. Мальчик мог успешно разрешить свою геометрическую задачу только потому, что незадолго до путешествия измерил свой рост и твердо знал результаты измерения.

Хорошо бы каждому из нас обзавестись таким ''живым метром'', чтобы в случае нужды пользоваться им для измерения. Полезно также помнить, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту - правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да Винчи: оно позволяет пользоваться нашими ''живыми метрами'' удобнее, чем это делал мальчик у Майна-Рида. В среднем высота взрослого человека (славянской расы) около 1,7м, или 170см; это легко запомнить. Но полагаться на среднюю величину не следует: каждый должен измерить свой рост и размах своих рук. Для отмеривания - без масштаба – мелких расстояний следует помнить длину своей ''четверти'', т. е. расстояние между концами расставленных большого пальца и мизинца. У взрослого мужчины оно составляет около 18см – примерно 1/ 4 аршина, но у людей молодых оно меньше и медленно увеличивается с возрастом (до 25 лет). Далее, для этой же цели полезно измерить и запомнить длину своего указательного пальца, считая ее двояко: от основания  и от большого. Точно так же должно быть известно вам наибольшее расстояние между концами указательного и среднего пальцев, - у взрослого около 10см. Надо, наконец, знать и ширину своих пальцев. Ширина трех средних пальцев, плотно сжатых, примерно 5см. Вооруженные всеми этими сведениями, вы сможете довольно удовлетворительно выполнить разнообразные измерения буквально голыми руками, и даже в темноте.

Точность.

Измеряя при помощи линейки, вы можете допустить ошибку, если отрезок оканчивается посередине деления. Сама ошибка при этом не будет превышать половины деления линейки. Эта возможная ошибка называется точностью измерения. Значит, если вы хотите измерить отрезок с точностью до 0,5см, то вам нужна линейка с сантиметровыми делениями.

Какие деления должны быть у линейки, если вам нужна точность 1м, 0,5мм?

С какой точностью можно измерить длину отрезка «голыми руками».

Угол

Фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, называется углом. Угол образуют две любые спицы велосипедного колеса, воображаемые солнечные лучи, пересекающиеся тропинки. В зависимости от того, насколько "разведены" лучи (их называют сторонами угла), различают виды углов: прямые, острые и тупые. Если стороны угла лежат на одной прямой, то угол называют развернутым.

Одна сто восьмидесятая часть этого угла называется градусом. Угол, равный половине развернутого, называется прямым. Он содержит 90 градусов. Углы, меньшие прямого, называются острыми. Они содержат меньше 90 градусов. Углы, большие прямого, но меньшие развернутого, называются тупыми и содержат больше 90, но меньше 180 градусов.

Определи вид углов 1,2,3,4,5. Объясни свой ответ. Предложи свой способ определения вида угла.

Первые астрономы жили в Вавилоне. Они разработали календарь, согласно которому год делился на 12 месяцев. В каждом месяце было 30 дней (это значит, что у них в году было 360 дней). Не исключено, что именно поэтому круг был разделен на 360 градусов. И сегодня, 4000 лет спустя, мы продолжаем измерять углы, пользуясь этой системой.

Штурманы кораблей и самолетов отмечают направление курса с помощью азимута. Азимут – это угол между направлением курса и направлением на север, отсчитываемый по часовой стрелке. Значение азимута может меняться от 0° до 360°. Значок «°» в математике заменяет слово «градус». Нарисуй стрелку, указывающую направление движения туриста по азимуту 68°, 251°, 318°.

Самолет, машина и парусник следуют по азимутам 90° , 240° и 295°. Определи, у кого какой азимут.

Площади

Какой из островов больше, Пуэрто-Рико или Ямайка? Величина поверхности фигуры называется её площадью. Площади простых фигур рассчитываются очень легко. А вот определить площадь неправильных фигур иногда невозможно, поэтому расчеты здесь зависят от того, какова требуемая степень точности.

Чтобы сделать приблизительный подсчет площади острова, можно поделить его на клетки площадью 0,5 км2. Подсчитав затем количество клеток, полностью или в основном лежащих в пределах острова, мы найдём, что площадь острова равна примерно 16 км2.

Площадь суши в двух таких клетках равна примерно 1 кв. км.

Можно получить и более точный результат, если подогнать в клетки более мелкие участки острова, занимающие лишь часть какой-то клетки. Как иначе можно подсчитать площадь более точно?