Ведение в геометрию (стр. 4 )

Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции

12 июня - 13 июня 2008г специально на открытие Центра современной культуры «Гараж» Рафаэлем Лозано Хэммером была привезена работа «Пульсирующая спираль». Эта инсталляция представляет собой трехмерные спиральный параболоид, созданный из 400 лампочек, собранных как «спираль Ферма» – разновидность Архимедовой спирали, созданной математиком Пьером де Ферма в 17 веке в процессе решения задачи оптимального распространения объектов на плоскости. Именно такова в природе схема роста листьев и стеблей у растений (филлотаксис).

Работа Хэммера – интерактивна, посетители могли управлять сенсором, расположенным под спиралью, и этот сенсор записывал и реагировал на их сердечный ритм.

Математика растений.

Последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8… называют числами Фибоначчи по имени итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Месяцы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	и т. д.
Пары кроликов	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	и т. д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. д.

Фибоначчи также занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Казалось бы чисто математическая находка. Однако, попробуй провести небольшое исследование в огороде. Рассмотри внимательно, как расположены семена подсолнечника в его шляпке. Ты увидишь несколько закручивающихся линий – спиралей. Удивительно, что число спиралей, закрученных по часовой стрелке и против часовой стрелки равно двум последовательным числам Фибоначчи – 21 и 34.

Можно продолжить это исследование, гуляя в парке или за городом. Спирали роста можно обнаружить у всех кактусов, у пальм, в сосновых шишках, в цветках маргаритки и у многих других растений. Например, колючки ананаса образуют сразу два множества спиралей: 8 спиралей идут по часовой стрелке, а 13 – против часовой стрелки. Поразительно то, что у всех растений число спиралей, идущих по часовой стрелке и число спиралей, идущих против часовой стрелки – это соседние числа Фибоначчи (21 и 34 у подсолнуха, 8 и 13 у ананаса, 1 и 2 у сельдерея). Наиболее часто встречается пара 5 и 8, которую можно найти в еловой шишке.

В мире растений спирали встречаются на каждом шагу: в строении соцветий, шишек, листьев, цветов, усиков и даже в самом расположении листьев и ветвей вокруг ствола дерева. Число витков спирали, которое необходимо сделать, чтобы перейти от нижнего листа к ближайшему верхнему, также равно одному из чисел ряда Фибоначчи. Это явление в ботанике носит название «филлотаксиса». Этому же закону подчиняется и угол поворота листьев на стебле относительно друг друга.

По спирали перемещаются и неживые предметы, и представители живой природы: любая точка, кроме осевой, вращающегося винта самолета; белка, взбегающая вверх по дереву; стаи летучих мышей, вылетающие из подземных пещер. В качестве примеров конической спирали можно привести водовороты, воронки ураганов, траекторию точек воды, стекающей по желобу, и тысячи других явлений природы.

Уже более трех веков ботаники и математики восхищаются сложностью и красотой спиральных структур, образующихся по мере развития растения. Семена на стебле, семена или лепестки в цветке, причем у самых разных растений – броколли, сосны, артишока, водяной лилии – все они создают сложные спирали, повторяющие известную математическую последовательность чисел. Чтобы выявить математические основания филлотаксиса (организации листьев и других органов вокруг стебля) математики Крис Гол из Smith College (США) и его швейцарская коллега Пау Атела объединились с ботаниками из Ботанического сада Smith College.
Гол рассказал, что спирали у растений часто образуются согласно последовательности Фибоначчи (1,1,2,3,5,8,13 и т. д.), где каждое число является суммой двух предыдущих. Спиральные цепочки у растений часто идут в противоположных направлениях, причем обычно их несколько. Число спиралей часто тоже выражается двумя последовательными числами Фибоначчи. Так, цветок английской дэйзии состоит из 21 спирали по часовой стрелке и 34 – против.

Сосновая шишка имеет 8 спиралей в одном направлении и 13 – в другом (8 и 13 идут друг за другом в последовательности Фибоначчи). Чтобы объяснить, почему в растительных спиралях доминируют числа Фибоначчи, Гол и Атела начали с теории ботаника XIX века Вильгельма Хофмейстера, который заметил, что листья у растений появляются в наименее "населенных" участках стебля вокруг

меристемы (или растущей верхушки). Затем они по кругу перемещаются от центра. Модель динамической системы, разработанная учеными, позволяет предположить, что этих простых геометрических правил достаточно, чтобы получить те спирали, которые мы видим в природе.
Ученые утверждают, что вне зависимости от того, знают ли растения математику, они запрограммированы следовать определенному набору законов развития, что позволяет предположить, что эти "узоры" дают эволюционное преимущество.

У некоторых моллюсков количество частей, формирующих конические раковины, отвечает числам Фибоначчи. Так, раковины фораминифер имеют 13 частей, раковины шпорцевой улитки - 8, количество камер раковины наутилуса - 34, тело наутилоидей делится на 13 частей, раковина гигантской тридакны собрана в 5 складок. Число ребер ископаемой раковины брахиопод равно 34. Такое же количество ребер имеют крохотные раковины тектакулитов. По краям пятнистой раковины ципреи из Индийского океана расположены мелкие зубцы, количество которых равно 21. Из приведенных примеров видно, что конструкции раковин многих ископаемых и современных моллюсков предпочитают числа 5, 8, 13, 21, 34.

Задание 1:

Возьми веточку березы. Измерь расстояние вдоль ветки между соседними листьями. Измерь угол смещения листьев по отношению друг к другу. Сделай рисунок и соответствующие записи.

Числа Фибоначчи и золотое сечение.

Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, Парфенон в Афинах – это одно из самых знаменитых сооружений в мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой математики.

Фасад Парфенона вписывается в прямоугольник, стороны которого образуют так называемое «золотое сечение». Длина прямоугольника примерно в 1,6 раза больше его ширины. Вычислить точное значение нельзя; греки умели строить золотые прямоугольники, но не умели находить длины сторон.

Современные ЭВМ могут вычислить отношение длины к ширине с любой заданной точностью. С точностью до трех знаков после запятой оно равно 1, 618. Это значит, что прямоугольник со стороной 1 м. должен иметь длину приблизительно 1 м. 61 см. 8 мм.

Древние греки считали, что прямоугольники, стороны которых образуют золотое сечение, имеют наиболее приятную для глаз форму. Греки приписывали золотому сечению и некоторые магические свойства, так же как и египтяне, использовавшие его для расчетов пирамид.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи.
Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.