Ведение в геометрию (стр. 3 )

Задание 1:

На сколько квадратов можно разбить квадрат? Как понимать эти рисунки?

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25…

  6, 9,12, 15, 18, 21, 24, 27…

  8, 11, 14, 17, 20, 23, 26…

Ответ: Кроме 2, 3 и 5.

Чтобы изобразить правильный многоугольник, используют окружность. При помощи циркуля её делят на равные части и соединяют точки деления отрезками. Полученный при этом многоугольник будет правильным.

Правильные многоугольники используют для изготовления паркетов. Голландский художник М. Эшер создал картины, на которых фигуры прилегают одна к другой без малейших зазоров, образуя, как говорят математики, паркет.

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использован или показан широкий круг математических идей. Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже.

Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

Паркеты

Правильным называется паркет, составленный повторением одной и той же фигуры. Самые простые паркеты составлены из правильных 3-угольников, 4-угольников, 6-угольников.

Очень интересные паркеты получаются, если на исходных фигурах имеется рисунок. Можно составить паркет, создающий рисунок, подобный рисункам Эшера. Для этого начни с простой фигуры, из которой можно получить

паркет. Вырежи из неё кусочек и добавь его с противоположной стороны. Повтори эту операцию несколько раз. Чуть-чуть воображения - и фигура превратится в знакомого героя.

Танграмы.

В древнем Китае была изобретена головоломка, которая у нас сейчас распространена под названием «Пифагор».

Дата создания может быть определена приблизительно XVIII веком. Первой известной древней книгой по танграму является “Собрание фигур из семи частей” (Китай 1803 г.). Издана она была на рисовой бумаге. Книги, изданные в Европе, были лишь отчасти оригинальны, а в своей основе имели китайские источники.

Одним из поклонников игры был о. Принадлежавший ему танграм сделан из слоновой кости и в настоящее время хранится в Нью-Йоркской публичной библиотеке.
Из семи частей квадрата удается сложить самые разнообразный фигуры.

Попробуй придумать сам несколько фигур из деталей танграма.

В танграме из семи кусочков уже имеются треугольники трех разных размеров. Но можно сложить ещё один треугольник, используя четыре кусочка: один большой треугольник, два маленьких и квадрат.

Задание 1

Можешь ли ты сложить такой же треугольник, используя 1) один большой треугольник, два маленьких треугольника и параллелограмм (два решения); 2) один большой треугольник, один средний и два маленьких?

Задание 2

Можно ли составить треугольник, используя два кусочка? Три кусочка? Пять кусочков? Шесть кусочков? Все семь кусочков?

Очевидно, что из всех семи кусочков составляется квадрат. Можно ли составить квадрат только из двух кусочков, из трех кусочков?

Какие различные кусочки составляют прямоугольники? Какие ещё фигуры можно составить?

Задание 3: Составь следующие фигуры:

Симметрия

Две точки называются симметричными относительно прямой (называемой осью), если они лежат на одном перпендикуляре к этой прямой и на одинаковых от неё расстояниях.

Фигура, изображенная на рисунке, обладает осевой симметрией. Если рисунок согнуть по вертикальной линии, то все точки фигуры совпадут.

Задание1:Начертите произвольный треугольник и прямую, не пересекающую этот треугольник. Постройте фигуру, симметричную треугольнику, относительно этой прямой. Каким свойством обладает полученная фигура?

Задание 2: Многие природные объекты обладают осевой симметрией. Соберите коллекцию симметричных природных объектов или сделайте их рисунки, указав ось симметрии.

Две точки, лежащие на одной прямой с третьей точкой и на одинаковых от неё расстояниях, называются центрально симметричными.

Центральной симметрией обладают многие предметы.

Задание 3: Назовите природные объекты, обладающие центральной симметрией. Сделайте рисунок, укажите центры симметрий.

Задание 4: Определите, какой симметрией обладают данные объекты.

Спирали

Что общего имеют Млечный Путь, ананас, горный баран и морская раковина с последовательностью чисел 1, 1, 2, 2,3, 3 …? Дело в том, что всё это примеры спиралей. А последовательность чисел описывает спираль на бумаге в клеточку, если каждое число считать расстоянием до очередного поворота. Прочерти отрезок длиной, равный длине стороны клеточки. Поверни на 900 и проведи еще один такой же отрезок. Потом снова на 900 и теперь проведи отрезок в две клеточки. Продолжай построение, проводя отрезки длиной, равной числам ряда. Получится спираль.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе.

Рис. 12. Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Спирали широко проявляют себя в живой природе. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровне.