Ведение в геометрию (стр. 5 )

Рис. Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой - в прямоугольник с модулем

Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Таким образом, золотое сечение и числа Фибоначчи являются бесспорным элементом роста живых существ.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон. Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека

Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д.

Задание 1:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 – это первые 10 чисел Фибоначчи. Попробуй с помощью калькулятора разделить каждое из них на предыдущее.

1: 1 = 1; 2 : 1 = 2; 3 : 2 = 1,5; и т. д. Если делить всё большие и большие числа, то как близко можно подойти к золотому сечению?

Задание 2:

Начерти единичный квадрат, т. е. квадрат со стороной, равной единице измерения длины, например, 1 см. или 1 дм.

Добавим второй такой же квадрат.

Построим на длинной стороне ещё один квадрат. Потом ещё один и ещё.

Объясни, при чем здесь золотое сечение. И при чем здесь числа Фибоначчи?

Задание 3:

Построй золотой прямоугольник, то есть такой прямоугольник, у которого одна сторона в 1,6 раз больше другой.

Отрежь от него квадрат и убедись, что получился маленький, но тоже золотой прямоугольник. А что, если ещё раз отрезать квадрат? И еще?

Построение золотого прямоугольника можно выполнить при помощи циркуля и линейки.

Начнем с квадрата. Разделим его на два равных прямоугольника. Проведем диагональ одного из них.

Проведем циркулем дугу окружности из одного конца этой диагонали радиусом, равным длине диагонали. Продолжим основание до пересечения с этой дугой.

Проведем боковую сторону под прямым углом и закончим построение золотого прямоугольника.

Измерь его стороны и убедись, что это золотой прямоугольник.

История “Золотого сечения” - это история человеческого познания мира. Понятие “Золотое сечение” прошло в своем развитии все стадии познания. Первая ступень познания открытие “золотого сечения” древними пифагорейцами. От простого созерцания действительности они перешли к выражению его в мире чисел, но ими были спутаны причинно-следственные понятия мира и догадка о мировой значимости “Золотого сечения” осталась лишь догадкой на века. И все же, в своей жизнедеятельности человек начинает использовать “Золотое сечение” в своих художественных произведениях.

Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Греки первые установили: пропорции хорошо сложенного человеческого тела подчиняются ее законам, что особенно хорошо видно на примере античных статуй (Аполлон Бельведерский, Венера Милосская). Фригийские гробницы и античный Парфенон, театр Диониса в Афинах - все они исполнены гармонии золотой пропорции. В наши дни интерес к золотой пропорции возрос с новой силой. В целом ряде музыковедческих работ подчеркивается наличие золотого сечения в композиции произведений Баха, Шопена, Бетховена.

В эпоху Ренессанса золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и другие великие художники возрождения компонуют свои полотна, сознательно используя золотую пропорцию. Нидерландский композитор XV века Якоб Обрехт широко использует “Золотое сечение” в своих музыкальных композициях, которые до сих пор уподобляют “кафедральному собору”, созданному гениальным архитектором.

Практические нужды торговли подводят Фибоначчи к открытию своих рядов, которые еще никто не связывает с “Золотым сечением”. В XIX веке уже не художники, а ученые-экспериментаторы, изучавшие закономерности филлатаксиса (расположение цветков), вновь обратились к золотой пропорции. Оказалось, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т. д. “упакованы” по логарифмическим спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа “правых” и “левых” спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34), предел последовательности которых является золотая пропорция.

Ученые открывают “Золотые пропорции” в живой и не живой материи и уже на основании этого опыта происходят удивительные открытия нашими современниками и обобщенных золотых пропорций и обобщенных рядов Фибоначчи. Их анализ приводит исследователей к результатам ошеломляющим по своей простоте и от того более значительных: “Золотое сечение” обладает избыточностью и устойчивостью, которые позволяют организовываться самоорганизующимся системам.

Человек рождается, живет, стареет, умирает, а гранитные горы остаются такими же и планеты вращаются вокруг Солнца так же, как и во времена Пифагора.

Мир живой природы предстает перед нами совсем иным - подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

Заключение

Наверное, ты читал книгу «Алиса в стране чудес». Выдающийся математик нашего столетия Давид Гильберт сказал, что автор этой книги Л. Кэролл был его учеником, но математиком не стал – у него было недостаточно фантазии, чтобы быть математиком, и он стал писателем. Конечно, это шутка, но, как во всякой шутке, в ней есть доля истины. Истина здесь в том, что математику для своей работы нужно иметь много воображения, изобретательности.

Ты еще только чуть – чуть познакомился с математикой, лишь слегка приоткрыл занавес, за которым скрывается изумительно красивый мир математики. Наш великий соотечественник Михаил Васильевич Ломоносов писал: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

В шестом классе ты продолжишь путешествие по миру чисел и фигур, научишься проводить топологические опыты своими руками, находить размеры недоступных тебе объектов, узнаешь, что такое графы и симметрия, как измерять объемы и поверхности и многое другое.

Желаю тебе успехов и творческой радости.

5класс        2

Введение.        2

Измерения        3

Длина шага        3

Измерение голыми руками        4

Точность.        5

Угол        5

Площади        6

Моделирование.        8

Параллелепипед.        9

Призма.        10

Пирамида        11

Задачи на построение.        12

Как построить отрезок заданной длины?        12

Как начертить треугольник        12

со сторонами 5см, 3см и 7см?        12

Как разделить отрезок пополам?        12

Как разделить угол пополам?        13

Как чертить перпендикулярные линии?        13

Как построить параллельные прямые?        13

Задачи на разрезание и раскладывание.        14

Паркеты        16

Танграмы.        16

Симметрия        19

Спирали        20

Математика растений.        22

Числа Фибоначчи и золотое сечение.        24

Заключение        32