Пусть проводится одно испытание, удовлетворяющее следующим условиям:

число исходов испытания конечно (равно n); исходы испытания являются несовместными; исходы испытания являются равновозможными.

Перечисленные условия составляют так называемую классическую схему испытаний (КСИ).

Определение 2.8. Вероятностью события в классической схеме испытаний называется число, равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих для данного события, к числу всех исходов испытания.

Обычно вероятность события А обозначают Р(А). Таким образом,

……… (1),

где  m – число исходов испытания, благоприятствующих для события А;

  n  – число всех исходов данного испытания.

       Решение задач на вычисление вероятности в классической схеме испытаний обычно осуществляется по следующему алгоритму.

       Алгоритм вычисления вероятности в КСИ:

Формулируется испытание. Определяется ПЭС данного испытания и число n – число точек в нем. Проверяется, удовлетворяет ли испытание КСИ. Формулируется событие А, вероятность которого нужно найти. Определяется число m – число элементарных событий, благоприятствующих событию А. Вычисляется вероятность события А по формуле (1).

Рассмотрим примеры решения задач на вычисление вероятности в КСИ.

Задача 1. Одновременно подбрасывают три монеты. 

А) Найти вероятность того, что все монеты упадут на одну сторону.

Б) Найти вероятность того, что выпадет хотя бы один «герб».

А) Решение.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Исп.: Подбрасываются 3 монеты одновременно. ПЭС: выпишем все возможные исходы испытания, обозначив буквой Г появление «герба», а буквой Ц – появление «цифры»:

{ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ; ЦЦЦ}, n = 8.

Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания n = 8 конечно;

2) так как при однократном подбрасывании трех монет может появиться только один из перечисленных исходов, то исходы испытания несовместны; 3) так как шансы на выпадение «герба» или цифры» на каждой из монет одинаковые, то исходы испытания равновозможные.

Соб. А: все три монеты упали на одну сторону. Среди перечисленных исходов испытания только два – ГГГ; ЦЦЦ – благоприятствуют соб. А, поэтому m = 2. = = 0,25.

Б) Решение.

Исп.: Подбрасываются 3 монеты одновременно. ПЭС: выпишем все возможные исходы испытания, обозначив буквой Г появление «герба», а буквой Ц – появление «цифры»: {ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ; ЦЦЦ}, n = 8. Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания n = 8 конечно;

2) так как при однократном подбрасывании трех монет может появиться только один из перечисленных исходов, то исходы испытания несовместны; 3) так как шансы на выпадение «герба» или «цифры» на каждой из монет одинаковые, то исходы испытания равновозможные.

Соб. А: при однократном подбрасывании трех монет появился хотя бы один «герб». Соб. А среди перечисленных исходов благоприятствуют следующие: ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ, поэтому m = 7. = .

Ответ: А) Р(А) = 0,25; Б) Р(А) = .

       Замечание. Эта задача имеет и другое решение. Если иметь в виду, что проводится не одно испытание, а три, то эти испытания удовлетворяют так называемой схеме Бернулли, решение задач в которой осуществляется по другому алгоритму.

       Как мы выяснили, для вычисления вероятности в КСИ необходимо знать два числа:  m – число исходов, благоприятствующих событию, и n – число всех исходов данного испытания. В рассмотренных задачах мы эти числа находили непосредственным подсчетом. Однако при решении многих вероятностных задач для вычисления этих чисел рационально применять комбинаторные формулы (см. учебно-методические материалы за прошлый учебный год).

Рассмотрим решение таких задач.

Задача 2. Имеются 25 российских и 15 зарубежных марок. Какова вероятность того, что из пяти выбранных наугад марок окажутся 3 российские и 2 зарубежные марки?

Решение.

Исп.: Из 40 марок наудачу извлекают 5. ПЭС: Каждое элементарное событие щ – появление определенной пятерки марок, поэтому, чтобы определить число точек в ПЭС, нужно решить комбинаторную задачу: скольким числом способов из 40 марок можно выбрать 5? Эту задачу решим по известному алгоритму: Число элементов в множестве, из которого выбираем n = 40. Длина выборки m = 5. Характер выборки: неупорядоченная; без повторений. Каждый набор из 5 марок есть сочетание без повторений, поэтому имеем = 658008.

Таким образом, число точек в ПЭС равно n = 658008.

КСИ выполняется. Соб. А: появились 3 российские и 2 зарубежные марки. Чтобы определить число исходов, благоприятствующих данному событию, нужно решить комбинаторную задачу: скольким числом способов можно выбрать 3 российские марки из 25 и 2 зарубежные марки из 15? В результате решения получаем, что число исходов, благоприятствующих для соб. А,  m = = 241500. = 0,367.

Ответ: Р(А) = 0,367.

       Замечание. Может показаться, что совсем не нужно каждый раз останавливаться на проверке условий КСИ, так как они все равно выполняются. Но это очень важный момент при решении вероятностной задачи. Здесь мы рассматривали только задачи, в которых испытание удовлетворяет КСИ, но на  практике огромное число испытаний не удовлетворяет КСИ, поэтому находить вероятности событий в таких задачах нужно по другим формулам. Проверка условий КСИ поможет избежать ошибки при выборе алгоритма.


Формула полной вероятности

Как было отмечено выше, выбор формулы для вычисления вероятности события зависит от того, каким условиям удовлетворяет испытание, при котором событие наступает.

Рассмотрим следующую задачу.

Ученик приходит на экзамен, выучив 26 билетов из 30. Какова вероятность того, что он знает вытянутый наудачу билет?

Нетрудно убедиться в том, что такое испытание удовлетворяет КСИ, следовательно, искомая вероятность будет равна   .

Изменим вопрос задачи. Ученик приходит на экзамен, выучив 26 билетов из 30. Какова вероятность того, что ученик знает вытянутый наудачу билет, если до него уже был взят один билет?

Из формулировки вопроса очевидно, что испытание условиям КСИ не удовлетворяет, следовательно, формулу (1) непосредственно применить нельзя.

Выделим отличительные черты этого испытания.

Фактически испытание, описанное в условии задачи, проходит в два этапа: сначала наудачу выбирают один билет (кто-то перед учеником взял один билет), а потом выбирает билет «наш» ученик.

На первом этапе испытания могут произойти разные события:

Событие Н1: вытянули билет, который «наш» ученик знает.

Событие Н2: вытянули билет, который «наш» ученик не знает.

На втором этапе происходит одно событие, вероятность которого и нужно найти:

Событие А: ученик знает вытянутый билет.

Далее обращаем внимание на то, что первый этап испытания удовлетворяет КСИ. Следовательно, вероятность каждого из событий Н1, Н2 можно вычислить по определению вероятности (1).

Заметим также, что мы можем найти вероятности события А в предположении, что на первом этапе произошло какое-то одно из событий Н1 или Н2 (так называемые условные вероятности события А: ), используя опять КСИ.

Но как найти вероятность события А независимо от каких либо условий? Для решения задач подобного рода и служит формула полной вероятности. Прежде чем ее приводить, рассмотрим общую теоретико-вероятностную модель полной вероятности.

Пусть испытание осуществляется в два этапа, которые формулируются в общем виде «Сначала..., потом...», и пусть событие А может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий Н1, Н2, ... , Нn, образующих ПЭС исходов первого этапа.

Тогда вероятность события А может быть вычислена по формуле:

  ....... (2)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

События Н1, Н2, ... , Нn называют гипотезами Байеса.

Приведем алгоритм решения задач на полную вероятность:

1. Сформулировать испытание: «Сначала..., потом...».

2. Сформулировать события, которые могут произойти на первом этапе испытания (гипотезы Байеса):

Н1:

Н2:

Нn:

3. Найти вероятности событий Н1, Н2, ... , Нn (если они не даны в условии задачи) по определению (1).

4. Проверить равенство: =1.

5. Сформулировать событие А, вероятность которого нужно найти.

6. Найти условные вероятности события А:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8