Математика, информатика, физика. Методические рекомендации (стр. 5 )

Рассматривая возможные случаи ; ; , получим все решения уравнения.

Ответ: (30; 6); (; 4); (10; 10); (6; 30); ().

Пример 3.

Решить в целых числах уравнение: 

Решение.

1) Выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени, в данном случае это .

Заметим, что ни при каких целых значениях переменной х коэффициент при не может быть равен 0. Тогда:

.

2) Выделим в полученной дроби целую часть, для этого числитель дроби представим в виде:

Получим:

(целую часть можно было выделить, разделив числитель на знаменатель «уголком» как многочлены).

3) Так как находим только целые решения, то  должно быть целым, следовательно, дробь  должна быть целым числом. Это будет только в том случае, когда числитель дроби 3 будет делиться на ее знаменатель (). Делителями числа 3 являются следующие числа: .

Рассматривая возможные случаи, получим все решения уравнения.

Ответ: (1; 9); (2; 8); (0; 2); (.

2. Метод разложения на множители

Идея этого метода следующая:

1) Первоначальное уравнение путем группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число.

2) Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения.

3) Проводится исследование, в котором каждый сомножитель, стоящий в левой части уравнения, приравнивается к соответствующему делителю числа, стоящего в правой части уравнения.

Пример 4.

Решить в целых числах уравнение  x + y = xy.

Решение.

1) Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1): x + y – xy – 1 = – 1.

Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: .

2) Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1).

3) Записав соответствующие системы уравнений и решив их, получим решение исходного уравнения.

Ответ: (0,0) и (2,2).

Пример 5.

Решить в целых числах уравнение  x + y + 3 = xy.

Решение.

1) Представим 3 в виде разности 4 и 1, преобразуем уравнение:

xy – x – y +1 = 4.

Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым, получим:  .

2) Число, стоящее в левой части, имеет следующие делители: .

3) Рассмотрим все возможные варианты:

 

 

 

4) Решив каждую из систем, получим множество решений первоначального уравнения.

Ответ: (2; 5); (0; -3); (3; 3); (-1; -1); (5; 2); (-3; 0).

Пример 6.

Решить уравнение в целых числах  y3 - x3 = 91.

Решение.

1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y - x)(y2 + xy + x2) = 9 (1).

2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91.

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число 

y2 + yx + x2 ≥ y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:

  ;  ; ;

4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья – (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Рассмотрим пример задачи, в условии которой явно никакое уравнение не содержится, но, составляя по условию задачи математическую модель, получаем уравнение.

Пример 7.

Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

Решение.

1) Пусть а и b – искомые числа, тогда по условию .

2) Известно, что , тогда имеем уравнение:

.

3. Рассмотрим все возможные разложения числа 55 на множители.

. Тогда, учитывая, что мы ищем натуральные числа >, получим систему:

, откуда имеем ; .

. Получим систему:

, откуда имеем ; .

Ответ: условию задачи удовлетворяют две пары натуральных чисел:

; и ; .